Mostrar que un elemental de la estructura equivalente de $\mathbb{R}$ y definible a partir de los puntos es Dedekind completa

Question

En la página 103, Matemáticas, Introducción a la Lógica, Herbert B. Enderton（2ed),

Suponga que $\mathfrak {A} \equiv \mathfrak R$ ($\mathfrak {R} = (\mathbb{R},<,+,\cdot)$). Mostrar que cualquier subconjunto de a $\mathfrak {|A|}$ que es no vacío, delimitado (en el orden$<^\mathfrak{A}$), y definible a partir de los puntos en $\mathfrak{A}$ tiene al menos un límite superior en $\mathfrak{|A|}$.

Definiciones de primaria de equivalencia y definible a partir de los puntos:

Dos estructuras de $\mathfrak{A}$ $\mathfrak{B}$ para el idioma se dice que los elementarily equivalente (escrito $\mathfrak{A} ≡ \mathfrak{B}$) iff para cualquier frase,$σ$, $\vDash_\mathfrak{A} σ ⇔ \vDash_\mathfrak{B} σ$.

Considere la posibilidad de una estructura fija $\mathfrak{A}$. Expanda el idioma mediante la adición de un nueva constante símbolo $c_a$ por cada $a \in \mathfrak{|A|}$. Deje $\mathfrak{A}^{+}$ ser la estructura para este idioma expandido que está de acuerdo con $\mathfrak{A}$ sobre el original parámetros y que asigna a $c_a$ el punto de $a$. Una relación $R$ en $\mathfrak{|A|}$ se dice es definible a partir de los puntos en $\mathfrak{A}$ fib $R$ es definible en $\mathfrak{A}^{+}$.

Aquí es hasta qué punto puedo entender este problema. En primer lugar, necesitamos una caracterización completa de los subconjuntos de a $\mathfrak{R}$definibles a partir de los puntos. Mi pregunta es que es el caso de que un subconjunto de a $\mathfrak{R}$, el fib es la unión de un número finito de intervalos?

La segunda pregunta es cómo llevar a la anterior caracterización en $\mathfrak{A}$?

Es bastante confuso, ya que la propiedad se nos quiere demostrar que es un de segundo orden, instrucción, pero todo lo que podemos utilizar son de primer orden de las frases implícita primaria de equivalencia.

Answer 1

Apostolos' respuesta es sin duda la forma más eficiente para responder a este problema, pero lo que quería señalar que hay un poco más por aquí.

Usted pregunta "es el caso de que un subconjunto de a $\mathfrak{R}$ es definible iff es la unión de un número finito de intervalos?"

La respuesta es sí. (Para ser claros, por un intervalo queremos decir algo de la forma $\langle a, b\rangle$ donde $\langle$ $($ o $[$, $\rangle$ es $]$ o $)$, e $a,b\in \mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$. Un singleton $\{a\}$ es el intervalo de $[a,a]$.) He aquí cómo ver esto:

1. Muestran que la Th$(\mathbb{R},<,+,\cdot,0,1)$ eliminación de cuantificadores. Esto es bien conocido (del teorema de Tarski) y no muy duro.
2. Compruebe que cada cuantificador fórmula libre con parámetros relativos a j$(\mathbb{R},<,+,\cdot,0,1)$ define una unión finita de intervalos en $\mathbb{R}$. Esto es fácil, ya que cada fórmula atómica es equivalente a $p(x) = 0$ o $p(x) < 0$ para algunos polinomio $p$ con coeficientes reales.

De hecho, este argumento funciona para cualquier estructura que se elementarily equivalente a $\mathbb{R}$. Usted necesita el teorema del valor intermedio para polinomios a ver que $p(x) < 0$ define una unión finita de intervalos, pero eso está bien porque cada instancia de la PIV es de primer orden expresable.

Ahora es fácil ver que en una estructura en la que todos los definible los subconjuntos finitos de uniones de intervalos, no vacío acotado subconjuntos tienen menos límites superior: acaba de tomar el mayor elemento que aparece como extremo derecho de uno de los intervalos.

Esta observación sobre finito uniones de intervalos es realmente en el corazón del campo de o-minimality, la cual ha estado muy activa en los últimos 25 años.

Una estructura que se llama o-minimal si es linealmente ordenado por $<$ y cada definibles por el subconjunto (con parámetros) es una unión finita de intervalos en el sentido anteriormente. La teoría de la real campos cerrados (RCF = Th$(\mathbb{R},<,+,\cdot,0,1)$) es el ejemplo canónico. Otros ejemplos incluyen DLO (la teoría de la densa lineal órdenes sin extremos), ODAG (la teoría de la ordenó divisible abelian grupos), y varias expansiones de la real campo puede incluir la real función exponencial, restringido funciones analíticas, y/o de varias otras cosas sin perder o-minimality.

Anteriormente, vimos que cualquier estructura elementarily equivalente a $\mathbb{R}$ es o-minimal. Es decir, la teoría de la $\mathbb{R}$ es o-minimal, lo que significa que todos sus modelos son o-minimal. Es un clásico del resultado que cada o-minimal de la estructura o-minimal teoría completa. Por desgracia, la prueba es bastante complicado. Está contenida en el documento de Conjuntos Definibles en Estructuras Ordenadas II por Caballero, Pillay, y Steinhorn.

Una buena referencia para o-minimality es el libro de Domar a la Topología y de la o-un mínimo de Estructuras por Lou van den Dries.

Answer 2

Primero que nada, tenemos que cualquier subconjunto acotado de $\mathbb{R}$ tiene al menos un límite superior, por la integridad de la línea real.

Supongamos ahora que $\mathfrak{A}\equiv\mathfrak{R}$ y deje $B\subset|\mathfrak{A}|$, que no está vacía, delimitada y definida a partir de los puntos en $\mathfrak{A}$ y deje $\phi(x,a_1,\ldots,a_n)$ ser la fórmula que define a $B$ donde $a_1,\ldots,a_n\in|\mathfrak{A}|$. Definir en primer lugar las fórmulas: $$\psi(x_1,\ldots,x_n)\equiv(\exists x\phi(x,x_1,\ldots,x_n))\land((\exists y)(\forall x)(\phi(x,x_1,\ldots,x_n)\to (x\leq y))$$ and $$\sigma(x,x_1,\ldots,x_n)\equiv\forall y\forall z((\phi(z,x_1,\ldots,x_n)\to y\geq z)\to x\leq y)\land(\forall z((\phi(z,x_1,\ldots,x_n)\to x\geq z))$$

Observar que $$\mathfrak{A}\models\psi[a_1,\ldots,a_n].$$

Ahora note que debido a la integridad de la línea real tenemos $$\mathfrak{R}\models\forall x_1,\ldots,x_n(\psi(x_1,\ldots,x_n)\to\exists x\sigma(x,x_1,\ldots,x_n)).$$ By the elementary equivalence of the $\mathfrak{A}$ and $\mathfrak{R}$ we have that $$\mathfrak{A}\models\forall x_1,\ldots,x_n(\psi(x_1,\ldots,x_n)\to\exists x\sigma(x,x_1,\ldots,x_n)).$$

Esto implica que $$\mathfrak{A}\models\psi[a_1,\ldots,a_n]\to\exists x\sigma[x,a_1,\ldots,a_n]$$ which yields that $$\mathfrak{A}\models\exists x\sigma[x,a_1,\ldots,a_n]$$ que es lo que queríamos.