Actualmente estoy haciendo ejercicios en el Gödelian teoremas; y nos enfrentamos con la introducción de rompecabezas de R. Smullyan del libro, que es como sigue:
Supongamos que tenemos una máquina que imprime las cadenas sobre el alfabeto $p, n, (, ), \neg$. La norma de una cadena de $e$ se define como la cadena de $e(e)$. Algunas cadenas son oraciones, que tienen un valor de verdad. Las penas son de la forma $p(w), \neg p(w), \neg pn(w), pn(w)$ donde $w$ es una cadena arbitraria. La verdad se asignan valores a las sentencias de la siguiente manera:
- $p(w)$ es cierto exactamente si $w$ es imprimible,
- $\neg p(w)$ es cierto exactamente si $w$ no es imprimible,
- $pn(w)$ es cierto exactamente si $w(w)$ (es decir, la norma de $w$) es imprimible,
- $\neg pn(w)$ es cierto exactamente si $w(w)$ no es imprimible.
Smullyan, se concluye que la sentencia de $G = \neg pn(\neg pn)$ es cierto, pero no se pueden imprimir. Nuestra tarea ahora es encontrar otra frase que es cierto, pero seguramente no imprimibles. Sin embargo, no acabo de entender cómo construir otra frase. Es claro que una oración necesita algún tipo de auto-referencia como la frase $G$ anterior; sin embargo a mí me parece que uno no puede encontrar una cadena de $s$ diferente de la $\neg pn$ de manera tal que la norma de $\neg pn(s)$ es exactamente $\neg pn(s)$ (a la que establecer la auto-referencia).
La máquina es el sonido. Lo que significa, que nunca impresiones falsas declaraciones.
Aviso que esta es la tarea, así que les agradecería si me dieran sugerencias, no soluciones completas.
Gracias de antemano!
