Información sobre la suma $\sum_{n=1}^\infty \frac{\log n}{n!}$

Question

En mi estudio personal de sumas interesantes, llegué a la siguiente suma que no pude evaluar:

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{\log n}{n!} = 0.60378\dots$$

Me interesaría mucho ver qué se puede hacer con esta suma. ¿Existe una forma cerrada de esta fascinante suma?

Answer 1

Utilizando la fórmula de Dobinski para los números de Bell, tenemos $$B(n)=\frac{1}{e}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k^n}{k!}$$ Por lo tanto, $$\frac{d}{dn}B(n)=\frac{1}{e}\sum_{k=2}^{\infty}\frac{k^n\log k}{k!}$$ de donde, $$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\log k}{k!}=B'_0 e$$ Obsérvese que el primer término ( $k=1$ ) es $0$ .