$f^{\ast}\mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_X}f^{\ast}\mathcal{G}\cong f^{\ast}(\mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_Y}\mathcal{G})\quad$ ?

Question

Dejemos que $f$ sea un morfismo de esquemas $f: (X,\mathcal{O}_X)\to (Y,\mathcal{O}_Y)$ y $\mathcal{F},\mathcal{G}$ sean gavillas de $\mathcal{O}_Y$ -módulos. Estoy tratando de demostrar (NO afirmo que esto sea cierto):

$f^{\ast}\mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_X}f^{\ast}\mathcal{G}\cong f^{\ast}(\mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_Y}\mathcal{G})$

Según la definición de $f^{*}$ y la propiedad del producto tensorial, se puede comprobar que esto se reduce a demostrar: $\quad f^{-1} \mathcal{F} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y} f^{-1}\mathcal{G} \cong f^{-1}(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_Y}\mathcal{G})$ . Sin embargo, no puedo continuar con este cálculo a mano alzada en la etapa actual. Por un lado $f^{-1}$ y $\otimes$ ambos requieren la sheafificación, y así obtengo una composición de dos objetos de sheafificación; por otro, no sé nada sobre las buenas propiedades de los tallos en $f^{-1}$ .

Supongo que el cálculo puede ser sucio, pero agradezco cualquier idea para manejar el problema.

Answer 1

Tu esquema parece tener un error. Si aplicas +5V desde el USB, entonces D1 está en polarización inversa, y μC no recibiría +5V.

Esto es lo que puedo proponer en su lugar. Por supuesto, esto es sólo un diagrama aproximado, que muestra sólo la distribución de energía.

El chip FTDI se alimenta siempre por bus.
Cuando la fuente de +12V no está presente, las puertas de Q17 y Q18 se bajan y el carril de +5V se alimenta desde el USB.
Cuando la fuente de +12V está presente, las puertas de Q17 y Q18 se ponen en alto y la sección USB no se autoalimenta de la fuente de +12V.

Los diodos de cuerpo del MOSFET son la razón de tener dos MOSFETs espalda con espalda en lugar de uno solo. Esto es para evitar que el host USB se retroalimente.

Answer 2

Prueba alternativa, utilizando sólo adjuntos.

En primer lugar, observe que existe un isomorfismo en $\mathsf{Mod}(Y)$

$$f_* \underline{\hom}_X(f^* G,H) = \underline{\hom}_Y(G,f^* H)$$

para $G \in \mathsf{Mod}(Y)$ y $H \in \mathsf{Mod}(X)$ . De hecho, en un subconjunto abierto $V \subseteq Y$ tenemos

$\Gamma(V,f_* \underline{\hom}_X(f^* G,H)) = \hom_{f^{-1}(V)}(f^* G |_{f^{-1}(V)},H|_{f^{-1}(V)})$

$ = \hom_{f^{-1}(V)}(f_V^* G|_V,H|_{f^{-1}(V)}) = \hom_V(G|_V,(f_V)_* H|_{f^{-1}(V)})$

$ = \hom_V(G|_V,(f_* H)|_V) = \Gamma(V,\underline{\hom}_Y(G,f^* H)).$

El resto es puramente formal:

$\hom_X(f^* F \otimes f^* G , H) = \hom_X(f^* F , \underline{\hom}_X(f^* G,H)) = \hom_Y(F,f_* \underline{\hom}_X(f^* G,H))$ $ = \hom_Y(F,\underline{\hom}_Y(G,f_* H)) = \hom_Y(F \otimes G,f_* H) = \hom_X(f^* (F \otimes G),H).$

Por lo tanto, $f^* F \otimes f^* G \cong f^* (F \otimes G)$ por Yoneda. Esta prueba también funciona en contextos bastante generales (por ejemplo, cuando no hay tallos disponibles).