Positiva semi-definida la matriz de problema

Question

Si $A，B$ $M$ son positivas semi-definida matrices, y hemos $$ A+B \succeq M .$$ Hacer siempre existen dos positivos semi-definida matrices $ M_{1}, M_{2} , $ tal que $$ A \succeq M_{1}, \quad B \succeq M_{2}, \quad M_{1}+M_{2}=M ?$$

Answer 1

La afirmación es falsa, incluso cuando nos imponen fuertes condiciones de positiva la definición de las matrices.

Deje $p > 0$ ser un número que se determine. Considere el siguiente martices:

$$ A = \begin{pmatrix}2p + 1& 0\\0&1\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2p + 1\end{pmatrix} \quad\text{ y }\quad M = \begin{pmatrix}p+1 & p\\p & p+1\end{pmatrix} $$

Es evidente $A, B, M \succ 0$ $A + B - M = \begin{pmatrix}p+1&-p\\-p&p+1\end{pmatrix} \succ 0 \implies A + B \succ M$

Si $M_1 = \begin{pmatrix}a_1&b_1\\b_1&c_1\end{pmatrix} \succeq 0$ $A \succeq M_1$ debemos tener:

$$0 \le a_1 \le 2p+1,\quad 0\le c_1 \le 1\quad\text{ and }\quad a_1 c_1 - b_1^2 \ge 0$$

Esto implica $|b_1| \le \sqrt{a_1c_1} \le \sqrt{2p+1}$. Por un argumento similar, si $M_2 = \begin{pmatrix}a_2&b_2\\b_2&c_2\end{pmatrix} \succeq 0$ $B \succeq M_2$ , tendremos $|b_2| \le \sqrt{2p+1}$.

Si elegimos $p$ tal que $$2\sqrt{2p+1} < p\quad\iff\quad p > 4 + 2\sqrt{5}$$ entonces no hay ninguna manera un par de $M_1, M_2$ suma $M$. El fuera de la diagonal elemento simplemente no coinciden.