Asumamos que $g(x)$ se da y tratamos de averiguar $f(n)$
$$ f(n)= \sum_ {i=1}^n g(i) $$
$$ f(n+1)= \sum_ {i=1}^{n+1}g(i) $$
$$ f(n+1)-f(n)=g(n+1) \tag 1$$
Sabemos que la expansión de Taylor
$$ f(x+h)=f(x)+hf'(x)+ \frac {h^2 f''(x)}{2!}+ \frac {h^3f'''(x)}{3!}+.... $$
Así,
$$ f(n+1)=f(n)+f'(n)+ \frac {f''(n)}{2!}+ \frac {f'''(n)}{3!}+.... $$
Si ponemos $f(n+1)$ expansión de Taylor en la ecuación $1$
$$f(n+1)-f(n)=g(n+1)$$ $$ f(n)+f'(n)+ \frac {f''(n)}{2!}+ \frac {f'''(n)}{3!}+....-f(n)=g(n+1) $$
$$ f'(n)+ \frac {f''(n)}{2!}+ \frac {f'''(n)}{3!}+...=g(n+1) \tag 2$$
$$ f(n)+ \frac {f'(n)}{2!}+ \frac {f''(n)}{3!}+ \frac {f'''(n)}{4!}+...= \int g(n+1) dn $$
Necesitamos $f(n)$ si es así, tenemos que cancelar $f'(n)$ . Así que tenemos que
$$ - \frac {1}{2} ( f'(n)+ \frac {f''(n)}{2!}+ \frac {f'''(n)}{3!}+...)=- \frac {1}{2}g(n+1) $$
$$ f(n)+ (- \frac {1}{2.2} + \frac {1}{3!})f''(n)+(- \frac {1}{2.3!} + \frac {1}{4!})f'''(n)+...= \int g(n+1) dn- \frac {1}{2}g(n+1) $$
$$ f''(n)+ \frac {f'''(n)}{2!}+ \frac {f^{4}(n)}{3!}+...= \frac {d(g(n+1))}{dn} $$
Si continúa de esa manera para cancelar $f^{r}(n)$ términos paso a paso, obtendrás
$$ f(n)= \int g(n+1) dn- \frac {1}{2}g(n+1)+ \frac {1}{12} \frac {d(g(n+1))}{dn}+a_4 \frac {d^2(g(n+1))}{dn^2}+a_5 \frac {d^3(g(n+1))}{dn^3}+... $$
Esto es Fórmula de Euler-Maclaurin . (Por favor, vea también las Aplicaciones de la Los números de Bernoulli ). Sólo quería mostrar los números de Bernoulli vistos en una de las fórmulas más importantes de las matemáticas.
Donde $$a_n= \frac {B_n}{n!}$$ .
Porque si intentas averiguar los coeficientes de $ \frac {t}{e^t-1}$ por la división polinómica. Puedes obtener exactamente los mismos coeficientes que se ven en la fórmula de Euler-Maclaurin.
Los números de Bernoulli aparecen en Jacob Bernoulli de la obra más original de "Ars Conjectandi" publicada en Basilea en 1713 en una discusión de la serie exponencial.
También puedes ver que los números de Bernoulli aparecen en la serie de potencia de $tan(x)$ . https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series (Revise la lista de la serie de Maclaurin de algunas funciones comunes)
Prueba: $$ \frac {t}{e^t-1}= \frac {t}{t+ \frac {t^2}{2!}+ \frac {t^3}{3!}+ \frac {t^4}{4!}+...}=1+ \frac {(1-1)t- \frac {t^2}{2!}- \frac {t^3}{3!}- \frac {t^4}{4!}-...}{t+ \frac {t^2}{2!}+ \frac {t^3}{3!}+ \frac {t^4}{4!}+...}=1- \frac {+ \frac {t^2}{2!}+ \frac {t^3}{3!}+ \frac {t^4}{4!}+...}{t+ \frac {t^2}{2!}+ \frac {t^3}{3!}+ \frac {t^4}{4!}+...}$$
$$ \frac {t}{e^t-1}=1- \frac {t}{2}+ \frac {+( \frac {1}{2}- \frac {1}{2!})t^2+( \frac {1}{2.2!}- \frac {1}{3!})t^3+( \frac {1}{2.3!}- \frac {1}{4!})t^4+...}{t+ \frac {t^2}{2!}+ \frac {t^3}{3!}+ \frac {t^4}{4!}+...}=1- \frac {t}{2}+ \frac {( \frac {1}{2.2!}- \frac {1}{3!})t^3+( \frac {1}{2.3!}- \frac {t^4}{4!})t^4+...}{t+ \frac {t^2}{2!}+ \frac {t^3}{3!}+ \frac {t^4}{4!}+...}$$
$$ \frac {t}{e^t-1}=1- \frac {1}{2}t+ \frac { \frac {1}{12}t^3+ \frac {1}{24}t^4+...}{t+ \frac {t^2}{2!}+ \frac {t^3}{3!}+ \frac {t^4}{4!}+...}=1- \frac {1}{2}t+ \frac {1}{12}t^2+ \frac {( \frac {1}{24}- \frac {1}{2.12})t^4+...}{t+ \frac {t^2}{2!}+ \frac {t^3}{3!}+ \frac {t^4}{4!}+...}$$
