Esta es una pregunta difícil y no puedo responder.
Respuestas
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Ok, yo finalmente resuelto y se puede demostrar que la suma es de 180 grados.
Vamos a marcar los vértices de las agujas del reloj, de la a a la G. me voy a referir a A, B .. G como los ángulos de la 'estrella'.
Formamos y tomar como ejemplo AED triángulo; sabemos que la suma de todos los ángulos es 180. Por lo tanto A + ADE + DEA = A + E + BED + EDG + D = 180 ( 1 ).
Vamos a ser M el punto de intersección entre BE y GD. En EMD triángulo, tenemos ángulo EMD = 180 - BED - EDG ( 2 ).
A partir de ( 1 ) y ( 2 ) => A + E + D = EMD ( 3 ). (procedimiento similar aquí para los demás)
Vamos a ser N el punto de intersección entre AD y FC. Vamos a ser P el punto de intersección entre AE y FC. En ANP triángulo hemos suma de todos los ángulos: A + APN + ANP = 180 ( 4 ).
Pero, en realidad, ANP = DNC. DNC = G + D + C como se muestra arriba en procedimiento similar como ( 3 ). El mismo: APN = FPE = F + B + E.
Si ponemos todas las cosas, la fórmula ( 4 ) se convierte en A + B + C + D + E + F = 180 (Q. E. D)
Roger Hoover
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56
Se puede asumir que la externa de los vértices de la estrella son los vértices de un regular heptagon (cambio de "no demasiado" la posición de un vértice no afecta a la suma de los ángulos), por lo tanto cualquier ángulo es igual a $\frac{\pi}{7}$ considerando el círculo circunscrito. Esto da que el original ángulos suma a a $\pi$.
user8269
Puntos
46
Aquí está una variación en la prueba por @Cristi.
Empezamos de la misma manera; la etiqueta de los vértices de las agujas del reloj, de la a a la G, y nos fijamos en el triángulo ADE, cuyos ángulos suma a $\pi$ (medición de ángulos en radianes, por supuesto).
Hay 7 triángulos como ADE (los otros son BEF, CFG, DGA, EAB, FBC, y GCD), por lo que la suma de todas sus ángulos da $7\pi$.
Pero la suma de todas sus ángulos también la suma de todos los ángulos de la heptagon ABCDEFG, pero contando los ángulos de la estrella 3 veces cada uno. Así, $$7\pi={\rm sum\ of\ angles\ of\ heptagon\ plus\ twice\ sum\ of\ angles\ of\ star}$$ Now the angles of the heptagon sum to $5\pi$ (the angles of any convex $n$-gon sum to $(n-2)\pi$), so $$7\pi=5\pi{\rm \ plus\ twice\ sum\ of\ angles\ of\ star}$$ so the angles of the star add up to $\pi$.
