El radio puede ser un número entero o $\sqrt{2}\cdot$ entero

Question

Dada una circunferencia alrededor del origen con exactamente $100$ puntos integrales (puntos con ambas coordenadas como enteros), demostrar que su radio es un número entero o $\sqrt{2}$ por un número entero.

Cuál es mi solución: Dado que el círculo es sobre el origen, por lo tanto, los puntos integrales serían simétricos sobre el $x$ -eje y $y$ -eje, así como la línea $x=y$ y la línea $x+y=0$ es decir, si $(x,y)$ es un punto integral, también lo son $(x,-y),(-x,-y),(-x,y),(y,x),(y,-x),(-y,x)$ y $(-y,-x)$ Por lo tanto, tenemos que considerar sólo un octante. Como hay un total de $100$ puntos integrales, son posibles dos casos:
1) El radio del círculo es entero.
2) El radio del círculo no es un número entero.
caso 1: Si el radio es un número entero, entonces $4$ puntos en el $x$ -eje y $y$ -eje del círculo serían puntos integrales y por lo tanto cada octante debe tener $12$ puntos(como $100-4=96$ es un múltiplo de $8$ ). Por lo tanto, este caso es consistente.
caso2: Si el radio no es un número entero, entonces $100$ Los puntos integrales no se pueden dividir en $8$ partes (octantes), y puntos en $x$ -eje y $y$ -eje del círculo no son puntos integrales, por lo que los puntos de la línea $x=y$ y $x+y=0$ deben ser puntos integrales para dividir $100-4=96$ puntos en $8$ partes. Pero desde el punto en línea $x=y$ y el círculo es de la forma $(r\cdot\cos(45^\circ),r\cdot\sin(45^\circ))$ por lo tanto, $r/\sqrt{2}$ es un número entero y por lo tanto $r=\sqrt{2}\cdot$ entero. otros puntos del círculo en estas líneas son consistentes con él.

Por lo tanto, he demostrado que o bien el radio es un número entero y si no, entonces tiene que ser $\sqrt{2}\cdot$ entero.

¿Hay algún fallo en mis argumentos? No he podido encontrar la prueba para comprobar si la mía es correcta. ¡¡Gracias de antemano!!

Answer 1

Todos los ingredientes están aquí, pero la fluidez del argumento no es óptima. Una demostración fluida de la afirmación comenzaría con "Supongamos que el conjunto $S:=\gamma\cap{\mathbb Z}^2$ contiene $100$ elementos. Entonces $\ldots$ ", o debería comenzar con "Asumir el radio de $\gamma$ no es un número entero ni $\sqrt{2}$ por un número entero. Entonces $\ldots$ ".

El punto esencial (que no sale claramente en su argumento) es el siguiente: El grupo de simetrías de $S$ es el grupo diédrico $D_4$ que es de orden $8$ . Desde $100$ no es divisible por $8$ esta acción tiene puntos fijos no triviales, es decir, puntos en las líneas $x=0$ , $y=0$ , $y=\pm x$ .

Answer 2

Para el caso de que el radio sea un número entero, no hay que argumentar nada. Lo que intentas demostrar es que un círculo que tiene exactamente 100 puntos integrales implica que el radio es integral o $\sqrt 2$ integral. Esto seguiría siendo cierto si ninguno de estos círculos fuera integral. Incluso sería cierto si no hubiera círculos con exactamente 100 puntos integrales.

Dicho esto, tu argumento funciona bien. Se extiende a cualquier número de puntos integrales igual a $4 \pmod 8$