Dado $x(t) = f(t) \cdot g(t)$ ¿Cuál es la transformada de Fourier de $x(t)$ ? Si es posible, explique su respuesta.
La motivación de la pregunta es la tarea, pero se trata de un principio básico de la clase que nunca llegué a comprender bien. Mi tarea actual se basa en el principio de la pregunta. Así que responder a esta pregunta de ninguna manera será hacer mi tarea para mí. Por eso pregunto el caso general.
Las transformadas como la de Fourier o la de Laplace, llevan un producto de dos funciones a la convolución de las transformadas integrales, y viceversa.
Esto se denomina Teorema de convolución y está disponible con pruebas en wikipedia .
Supongo que podría reunir mis comentarios en una respuesta.
En realidad, estás haciendo implícitamente dos preguntas:
La respuesta a la pregunta 1. es positiva en algunos casos, especialmente cuando se trata de frutas. La estructura se llama grupo abeliano libre . Es esencialmente una copia de enteros para cada fruta con la adición definida por componentes: $(5a + 2o) + (2a + 3o) = (7a + 5o)$ y así sucesivamente. Del mismo modo, se pueden formalizar otros conceptos de adición de diferentes cantidades. También se puede introducir la multiplicación y hablar de anillos polimoniales $K[x,y,\dots,z]$ (donde se entiende que las variables representan unidades) o tomar el campo de las fracciones de eso, o incluso introducir la no conmutatividad. Hay muchas estructuras matemáticas que pueden acomodar todas las operaciones que se necesitan en la física (y más).
Así llegamos al punto 2. Hemos visto que es posible para añadir diferentes cantidades. Pero eso te dice nada sobre si una operación de este tipo es alguna vez útil. En particular, cuando se habla de operaciones elementales utilizadas en problemas físicos para llegar a un resultado que es siempre una cantidad bien definida con unidades. Afirmo que esta es la razón por la que no utilizamos en física nada más que la adición de cantidades con las mismas unidades porque queremos tener unidades razonables en cada paso del cálculo.
Nótese que esto también es consistente con la toma de productos de diferentes cantidades porque esta operación no estropea el hecho de que en cada paso de la derivación tenemos una unidad bien definida de la expresión.
Quizás estoy leyendo mal tu respuesta o el artículo de la wikipedia. Parece que afirmas que la transformada de Fourier de x es la convolución de Fourier(f) y Fourier(g). Pero tu segundo enlace parece afirmar que Fourier(x) = Fourier(f) x Fourier(g), donde las transformadas de f y g se multiplican, no se convuelven. Tal vez me estoy perdiendo algo.
@nomoreink: En el enlace pone que si $h$ es la convolución de $f$ y $g$ (no $*$ denota convolución y no multiplicación), entonces la transformada de Fourier de $h$ es el producto de las transformadas de Fourier de $f$ y $g$ . Por el contrario, (esta es la parte pertinente a su pregunta), si $h$ puede descomponerse como producto de dos funciones integrables, entonces la transformada de Fourier de $h$ es la convolución de las transformadas de $f$ y $g$ .
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Para empezar, necesita algunas condiciones sobre $f$ y $g$ por ejemplo, su producto $f\cdot g$ debería ser integrable - ¿puedes encontrar tales condiciones? Además, ¿qué integral se utiliza en el curso?
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F y g no representan ninguna función específica. Si hay restricciones que determinen si se puede realizar la transformación, agradecería que se mencionaran en la respuesta. No estoy seguro de lo que quieres decir con "qué integral", no sabía que hay más de un tipo de "integral".
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@nomoreink: Todo esto se menciona en el artículo enlazado por George S. y también en el artículo principal de la wikipedia.
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La integral que conoces se llama integral de Riemann. Si sigues estudiando matemáticas aprenderás sobre la integral de Lebesgue, que es una especie de extensión de la integral de Riemann (no realmente, pero casi). El análisis de Fourier se estudia mejor en términos de la integral de Lebesgue, básicamente por cuestiones de convergencia e invariancia de traslación.