Encontrar los límites de la serie "Casi divergentes"

Question

Encuentre los siguientes límites: $ \lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{1+n\epsilon} $

$ \lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{1+n^{2}\epsilon} $

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}a_n=\sum_{n=0}^{\infty}(a_{2n}-a_{2n+1}). $$ Si $a_n=1/(1+n\varepsilon)$, luego $$ a_{2n}-a_{2n+1}=\frac{1}{1+2n\varepsilon} - \frac{1}{1+(2n+1)\varepsilon}=\frac{\varepsilon}{(1+2n\varepsilon)(1+(2n+1)\varepsilon)}. $$ Escrito $x=n\varepsilon$, se puede sustituir la suma por una integral: $$ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{1+n\varepsilon}= \sum_{x=0,\varepsilon,2\varepsilon,\ldots}\frac{\varepsilon}{(1+2x)(1+2x+\varepsilon)}\sim\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{(1+2x)^2}=\frac{1}{2}. $$ Del mismo modo, si $a_n=1/(1+n^2\varepsilon)$, luego $$ a_{2n}-a_{2n+1}=\frac{1}{1+(2n)^2\varepsilon} - \frac{1}{1+(2n+1)^2\varepsilon}\sim\frac{4n\varepsilon}{(1+4n^2\varepsilon)^2}. $$ Aquí tomamos $x=n\sqrt{\varepsilon}$, lo que nos da $$ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{1+n^2\varepsilon}=\sum_{x=0,\sqrt{\varepsilon},2\sqrt{\varepsilon},\ldots}\frac{4x \sqrt{\varepsilon}}{(1+4x^2)^2}\sim\int_{0}^{\infty}\frac{4xdx}{(1+4x^2)^2}=\frac{1}{2} $$ así.

Answer 2

No sé cómo esto podría ayudar. La primera suma casi corresponde a la definición de la función trascendente de Hurwitz-Lerch ya que el resultado es

HurwitzLerchPhi [-1, 1, 1 / epsilon] / epsilon

Uso de los límites, cuando $\epsilon\ ->0$, el límite es simplemente 1/2.

Answer 3

Para la primera de ellas podríamos escribir

$$ \frac{1}{1+e^{-\epsilon x}} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n e^{-\epsilon n x} $$

e integrar término a término a encontrar que

$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{1+\epsilon n} = \int_0^{\infty} \frac{e^{-x}}{1+e^{-\epsilon x}}\,dx. $$

Por el teorema de convergencia dominada entonces tenemos

$$ \lim_{\epsilon \to 0} \int_0^{\infty} \frac{e^{-x}}{1+e^{-\epsilon x}}\,dx = \frac{1}{2} \int_0^\infty e^{-x}\,dx = \frac{1}{2}. $$

El segundo se resiste a este enfoque :)

Answer 4

El uso de Claude Leibovici la idea de usar Mathematica, me sale el siguiente

$$ \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{1+n\epsilon} = \frac{\Phi \left(-1,1,\frac{1}{\epsilon }\right)}{\epsilon }, $$ donde $\Phi$ es el Hurwitz-Estacada trancendent función. El límite de la expresión anterior es, de hecho, $1/2$ como se reivindica. Para el resto de su función puedo conseguir

$$ \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{1+n^{2}\epsilon} = \frac{2 \sqrt{\epsilon }+\pi \coth \left(\frac{\pi }{2 \sqrt{\epsilon }}\right)}{4 \sqrt{\epsilon }}-\frac{\pi \tanh \left(\frac{\pi }{2 \sqrt{\epsilon }}\right)}{4 \sqrt{\epsilon }} $$ Esto también tiene límite de $1/2$.

Las identidades se utiliza en las derivaciones son todos de Mathematica. Creo que la respuesta de $1/2$ también se puede llegar por la Cesaro y Abel sumatorias en la divergencia de la serie.