¿Cómo crear un campo del vector que rizo y divergencia es cero en cualquier punto?

Question

¿Cuál es el procedimiento matemático para obtener un campo vectorial cuyo enrollamiento y divergencia es cero en cualquier punto en cualquier momento?

Edit: Por favor explique mediante la solución de las ecuaciones diferenciales de enrollamiento y de divergencia.

Answer 1

Tomar cualquier armónico de la función $\phi$, y establecer el vector de campo a $v = \nabla \phi$, el gradiente.

Editar En cualquier conecta dominio (si el espacio es la totalidad del espacio Euclidiano, por ejemplo), cualquier curl gratis campo de vectores puede expresarse como el gradiente de una función. Usted puede ver esto de forma explícita mediante la comprobación de que, dado un curl gratis campo de vectores $v$, la función de $\phi(x) = \int_{C} v(s)\cdot ds$ donde $C$ es una curva que empieza en el origen y termina en el punto de $x$ es independiente de la elección de la curva de $C$, y, por tanto, $\phi$ está bien definido. (Esto es generalmente tratada en cualquier libro de texto introductorio de cálculo vectorial, y es un caso especial de Stokes teorema.) Una vez que usted tiene que conectar $v = \nabla \phi$ en la divergencia de la ecuación se obtiene automáticamente que $\nabla^2\phi = 0$.

Answer 2

Un campo vectorial diferenciable del $F=(u,v)$ definida en un conjunto abierto $\Omega\subset\mathbb{R^2}$ es rizo y divergencia libre si y sólo si $f=u-iv$ es una función holomorfa (consecuencia fácil de ecuaciones de Cauchy-Riemann).

Entonces, si usted quiere obtener un rizo diferenciable y campo de vector libre de divergencia en un conjunto abierto $\Omega\subset\mathbb{R^2}$, simplemente tomar el conjugado de cualquier función holomorfa definida en $\Omega$.

Answer 3

Un buen ejemplo en la física es la expresión estándar de un campo de dipolo eléctrico o magnético. A excepción del origen, donde se encuentra el dipolo, div y enrollamiento son cero y así también deben satisfacer la ecuación de Laplace. Pero, ¡espera! del $^2$$\left(\frac{1}{r}\right)$ es $-4\pi$ (Dirac $\delta(r)$).. .ah tolva de la hierba...