¿1/4 está en el set de Cantor?

Question

Me gustaría saber si 1/4 está en el set de Cantor, he intentado muchas cosas sin éxito, necesito alguna pista o ayuda sobre cómo proceder en este caso. Tal vez haya alguna herramienta o truco que pueda usar.

Muchas gracias.

Answer 1

$1/4$ está en el conjunto de Cantor. Está en el tercio inferior. Y está en el tercio superior del tercio inferior. Y en el tercio inferior de éste, y en el tercio superior de éste, y así sucesivamente.

La forma más rápida de ver esto es que es exactamente $1/4$ del camino de $1/3$ hasta $0$ y luego utilizar la autosimilaridad y la simetría.

Una forma más pausada de mostrarlo es observar la serie $$ \frac29 + \frac{2}{9^2}+\frac{2}{9^3}+\cdots=\frac14. $$ Esto demuestra que la base- $3$ ampliación de $1/4$ es $0.02020202\ldots$ . Como tiene una base $3$ expansión con sólo $0$ s y $2$ s, está en el conjunto de Cantor.

Answer 2

Sugerencia: escriba $\frac{1}{4}$ en la base $3$ .

Para ello, basta con observar que

$$\frac{1}{4}=\frac{2}{9-1}=\frac{2}{9}\frac{1}{1-\frac{1}{9}}$$

y escribir la serie geométrica que tiene ese límite.

Answer 3

Utilizamos la inducción matemática para demostrar $\frac{1}{4}$ y $\frac{3}{4}$ están en $C_n,\, \forall n\in \mathbb{N}\cup \{0\}$ .

Claramente, están en $[0,1]$ .

Supongamos que están en $C_N$ . Observamos la estructura de $[0,\frac{1}{3}]$ después de $n+1$ cortes es similar a $[0,1]$ después de $n$ cortes. Por lo tanto, si $x \in C_N$ entonces $\frac{x}{3} \in C_{N+1}$ . Ya que por suposición, $\frac{3}{4} \in C_{N}$ tenemos $\frac{1}{4} \in C_{N+1}$ . Además, como el corte es simétrico en $[0,1]$ Sabemos que $\frac{3}{4} \in C_{N+1}$ .

Por lo tanto, por inducción, $\frac{1}{4}$ y $\frac{3}{4}$ están en $C_n,\, \forall n\in \mathbb{N}$ tenemos $\frac{1}{4}$ y $\frac{3}{4}$ están en $C$ .

Answer 4

A partir de la construcción del conjunto de Cantor utilizando los "tercios eliminados", se ve que cada uno de los números $$\textstyle a_1={1\over3},\ \ a_2={1\over3}-{1\over9},\ \ a_3={1\over3}-{1\over9}+{1\over27}, \ \ \ldots$$ es un elemento del conjunto de Cantor.

Dado que la secuencia $(a_k)$ es la secuencia de sumas parciales de la serie geométrica convergente $\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n+1} ({1\over3^n}) $ se deduce que
$$\lim_{k\rightarrow\infty} a_k= \sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1} ({\textstyle{1\over3^n})}= -\sum_{n=1}^\infty (\textstyle{-1\over3})^n=(-1)\cdot{-1/3\over 1-(-1/3)} ={1/4}.$$

Ahora, el conjunto de Cantor es cerrado; y, como el conjunto de Cantor contiene cada $a_k$ debe contener el límite de $(a_k)$ . Así, el conjunto de Cantor contiene el punto $1/4$ .

(Este argumento no debería parecer tan misterioso si se determina dónde $1/4$ se encuentra en relación con el $a_k$ (véase el primer párrafo de la respuesta de Michael Hardy).