Encontrar un homeomorfismo $\mathbb{R} \times S^1 \to \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$

Question

¿Existen "trucos" o "técnicas" específicas para encontrar homeomorfismos entre espacios topológicos o métricos?

Estoy tratando de construir un homeomorfismo entre $\mathbb{R} \times S^1 \to \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ pero tengo problemas para visualizar cómo va a funcionar. Estoy pensando en algún tipo de proyección estereográfica desde el círculo y luego incluir el $\mathbb{R}$ de alguna manera pero estoy atascado. ¿Alguna idea?

Answer 1

Piensa en el aspecto del plano menos un punto: es una unión disjunta de círculos concéntricos, siendo cada círculo de algún radio $r \in (0,\infty)$ . (Así es como funcionan los coordiantes polares).

Esto es esencialmente lo mismo que decir que $\mathbb R^2 \setminus \{(0,0)\} \cong S^1 \times (0,\infty).$ Ahora sólo tienes que recordar que $(0,\infty) \cong \mathbb R$ .

En lugar de preguntar sobre métodos generales para encontrar homeomorfismos (que es un problema muy difícil cuando se plantea de forma general), basándome en lo que has escrito, creo que quizás deberías practicar la visualización de diferentes ejemplos de productos. Por ejemplo, podrías convencerte de que un toro (la superficie de un donut) es homeomorfo a $S^1 \times S^1$ pensando en ella como un círculo de círculos (al igual que $\mathbb R^2\setminus \{(0,0)\}$ es un círculo de intervalos). También se puede considerar el complemento de una bola de radio $1$ en la bola de radio $2$ y convencerse de que es homeomorfo al producto de $S^2$ y un intervalo cerrado.

Un hecho "de fondo" importante a tener en cuenta es que todos los intervalos abiertos son homeomórficos, y que todos los intervalos cerrados son homeomórficos, de modo que los puntos finales particulares no importan. (En diferentes situaciones concretas, puede ser útil pensar en términos de diferentes puntos finales. Por ejemplo $\mathbb R = (-\infty,\infty)$ pero en mi explicación del problema anterior, era más conveniente visualmente pensar en términos del intervalo abierto $(0,\infty)$ .)

Answer 2

No conozco ningún "truco" para esto. A veces, como en este caso, se puede obtener algo de "inspiración" de los factores de composición del dominio. Aquí tenemos factores no acotados y periódicos, que pueden considerarse como las componentes del módulo y del argumento de un punto no nulo en el plano complejo. Basándonos en esto, podemos probar la función $f(x,\theta)=(e^x \cos\,\theta,e^x\sin\,\theta)$ que resulta ser el truco.

Sin embargo, la mayor parte de las veces sólo hay que tantear el terreno. Busca diferentes formas de descomponer los espacios en factores, uniones, cuñas, etc.

Answer 3

He aquí una intuición más o menos pictórica.

Para $0\le\theta<2\pi$ dejar $R_\theta$ sea el rayo abierto $\big\{\langle r,\theta\rangle:r\ge 0\big\}$ , donde $r$ y $\theta$ son coordenadas polares. Sea $p_\theta$ sea el punto $\langle 1,\theta\rangle\in R_\theta\cap S^1$ . Pivote $R_\theta$ sobre el punto $p_\theta$ hasta que esté perpendicular a la $xy$ -plano, paralelo a la $z$ -eje. Haga esto simultáneamente a todos los $R_\theta$ y terminas con un cilindro semi-infinito abierto,

$$\begin{align*} S^1\times(-1,\to)&=\big\{\langle 1,\theta,z\rangle:z>-1\big\}&&\text{(cylindrical coords.)}\\ &=\big\{\langle x,y,z\rangle:x^2+y^2=1\text{ and }z>-1\big\}&&\text{(rectangular coords.)}\;. \end{align*}$$

Esta construcción deja el $\theta$ coordenada sola y convierte el $r$ coordinar en un $z$ -coordinación: $z=r-1$ .

Ahora sólo hay que estirar la parte del cilindro por debajo del $xy$ -plano. Hay muchos homeomorfismos que hacen esto; todo lo que estás haciendo en este punto es encontrar un homeomorfismo entre $(-1,\to)$ y $\Bbb R$ .

No tengo una respuesta útil a la pregunta general; haber visto una variedad de ejemplos ayuda, por supuesto. En este caso las dos claves para mí son reconocer que quitar un punto y quitar un disco cerrado dejan espacios homeomorfos, y reconocer que este espacio que queda es homeomorfo a un anillo abierto, ya que está bastante claro que un anillo abierto es homeomorfo a $(0,1)\times S^1$ que a su vez es homeomorfo a $\Bbb R\times S^1$ .

Answer 4

En general, es muy difícil producir un homeomorfismo específico. Proyección estereográfica se refiere típicamente a la proyección de una esfera sobre el plano, y la idea no funcionará tan bien en este contexto porque el cilindro $\mathbb{R} \times S^1$ se extiende infinitamente en dos direcciones. Pero si pudiéramos encoger un extremo del cilindro, entonces seríamos capaces de aplicar un mapeo de proyección.

Considere $\mathbb{R} \times S^1$ como el conjunto de puntos en $\mathbb{R}^3$ dado por: $\{ (x, y, z) \;|\; y^2 + z^2 = 1 \}$ . Esto en un cilindro infinito paralelo a la $x$ -eje. Paso 1 . Dejemos que $\phi : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ sea el mapa que es la identidad cuando $x < 0$ y envía $(x,y,z) \mapsto (\arctan x, y, z)$ cuando $x \geq 0$ . $\phi$ es un homeomorfismo $\mathbb{R} \times S^1 \to (-\infty, \pi/2) \times S^1$ . Paso 2 . Sea $P$ sea el punto $(\pi/2, 0, 0)$ y que $\psi : (-\infty, \pi/2) \times S^1 \to \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ sea la proyección estereográfica de $P$ . Es decir, $\psi(x,y,z)$ es el punto de intersección de la $yz$ -y la línea que une $P$ y $(x,y,z)$ . Así, $\psi\phi$ es un homeomorfismo $\mathbb{R} \times S^1 \to \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ .