una propiedad importante de una elipse

Question

Buenos días a todos. Me gustaría saber la prueba de la siguiente observación sobre la elipse.

Se dibuja un círculo con el recto derecho como diámetro. Se dibuja otra circunferencia con su centro en el eje mayor de forma que sea internamente tangente tanto a la circunferencia dada anteriormente, como a la circunferencia auxiliar (la circunferencia de la elipse). Esta circunferencia se dice que es la circunferencia asociada derecha de la elipse. (Todas las circunferencias cuyos diámetros son las cuerdas focales de la derecha son tangentes a la circunferencia asociada de la derecha, y de la misma manera, todas las circunferencias cuyos diámetros son las cuerdas focales de la izquierda son tangentes a la circunferencia asociada de la izquierda.

Además, ¿podemos ver algo similar en las otras secciones cónicas?

Answer 1

Aquí presento una prueba de geometría de coordenadas bastante elaborada. (¡Me gustaría ver una forma más sencilla de hacerlo!)

Tomemos la elipse con excentricidad $\varepsilon\in(0,1)$ y el semilatus rectum $p$ para tener la ecuación polar

$$r=\frac{p}{1-\varepsilon\cos\,\theta}$$

tal que uno de los focos de la elipse está en el origen, y el círculo cuyo diámetro es el latus rectum tiene la ecuación $r=p$ . A partir de esta configuración, encontramos que el círculo asociado correspondiente al foco en el origen tiene su centro en $\left(\dfrac{p}{2}\left(1-\dfrac1{1+\varepsilon}\right),0\right)$ y un radio de $\dfrac{p}{2}\left(1+\dfrac1{1+\varepsilon}\right)$ .

Sea una cuerda focal correspondiente al foco en el origen con un ángulo $\varphi$ del eje horizontal. Encontramos que la línea $\theta=\varphi$ interseca la elipse en los valores del ángulo $\theta=\varphi$ y $\theta=\varphi+\pi$ correspondiente a los puntos

$$\left(\frac{\pm p\cos\,\varphi}{1\mp\varepsilon\cos\varphi},\frac{\pm p\sin\,\varphi}{1\mp\varepsilon\cos\,\varphi}\right)$$

(Agradezco Azul por señalar esta simplificación; la versión anterior de esta respuesta tomaba un camino más tortuoso).

El círculo cuyo diámetro es el segmento que une estos dos puntos tiene su centro en $\left(\dfrac{\varepsilon p\,\cos^2\varphi}{1-(\varepsilon\cos\,\varphi)^2},\dfrac{\varepsilon p\cos\,\varphi\sin\,\varphi}{1-(\varepsilon\cos\,\varphi)^2}\right)$ y un radio de $\dfrac{p}{1-(\varepsilon\cos\,\varphi)^2}$ . Para comprobar que esta circunferencia es tangente a la circunferencia asociada, encontramos la línea radical de estas dos circunferencias (que coincide con la recta tangente común de dos circunferencias tangentes); encontramos que la ecuación de la recta radical es

$$p\left(\frac{2\varepsilon}{\sec^2\varphi-\varepsilon^2}+\frac1{1+\varepsilon}-1\right)x+\frac{2 \varepsilon p \tan\,\varphi}{\sec^2\varphi-\varepsilon^2}y+\frac{\varepsilon p^2 (\varepsilon+\sec^2\varphi)}{(1+\varepsilon)(\sec^2\varphi-\varepsilon^2)}=0$$

El punto de tangencia se encuentra entonces en

$$\left(\frac{p(\tan^2\varphi-\varepsilon-1)}{(\varepsilon+1)^2+\tan^2\varphi},-\frac{p(\varepsilon+2)\tan\,\varphi}{(\varepsilon+1)^2+\tan^2\varphi}\right)$$

La comprobación de que la recta perpendicular a la radical en el punto de tangencia pasa por el centro de la circunferencia asociada te la dejo a ti.

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Aquí hay una Mathematica demostración:

With[{p = 1, e = 1/Sqrt[2], n = 31},
     Animate[PolarPlot[{p/(1 - e*Cos[t]), p}, {t, -Pi, Pi}, 
       Epilog -> {{Green,
                   Circle[{(p/2)*(1 - 1/(1 + e)), 0},
                          (p/2)*(1 + 1/(1 + e))]}, 
                  {Red,
                   Circle[{(e*p*Cos[th]^2)/(1 - (e*Cos[th])^2),
                           (e*p*Cos[th]*Sin[th])/(1 - (e*Cos[th])^2)},
                           p/(1 - (e*Cos[th])^2)],
                   Line[{{p*Cos[th]/(1 - e*Cos[th]),
                          p*Sin[th]/(1 - e*Cos[th])}, 
                         {-p*Cos[th]/(1 + e*Cos[th]),
                          -p*Sin[th]/(1 + e*Cos[th])}}]}},
       Frame -> True], {th, 0, 2 Pi, 2 Pi/(n - 1)}]]

Aquí hay una versión parabólica:

Es necesario hacer algunos ajustes en el código anterior para manejar el caso hiperbólico e > 1 Lo dejaré como ejercicio para el lector.

Answer 2

Aquí hay un enfoque ligeramente diferente, que también utiliza coordenadas, y que no aclara en cuanto a por qué el fenómeno funciona.

Dejemos que $C = C(\theta)$ y $r = r(\theta)$ sean el centro y el radio del Círculo de la Cuerda Focal (FCC) para el que la cuerda focal hace ángulo $\theta$ con el $x$ eje. Sea $K$ y $s$ sean el centro y el radio del Círculo Auxiliar (CA).

Digamos que el rayo $CK$ cumple con la FCC en $T$ ; entonces, $|CT| = r$ . Si además $|KT| = s$ entonces $T$ debe ser un punto de tangencia para FCC y AC, así que verifiquemos que $|KT| = s$ ... o, de forma equivalente, que $|CK| = r-s$ .

Con el foco derecho en el origen, y el eje mayor alineado con el $x$ -eje, los puntos extremos de la cuerda focal tienen estas coordenadas cartesianas:

$$\begin{eqnarray*} \frac{\pm p}{1\mp e\cos\theta} (\cos\theta,\sin\theta) \end{eqnarray*}$$

donde $p$ es la longitud del recto semilatino y $e$ es la excentricidad de la cónica. El punto $C$ es el punto medio de la cuerda, con coordenadas iguales a la media de las coordenadas de los extremos; $r$ es la mitad de la distancia entre esos puntos finales:

$$\begin{eqnarray*} C = \frac{p e \cos\theta}{1-e^2\cos^2\theta}(\cos\theta,\sin\theta) \hspace{0.5in} r = \frac{p}{1-e^2\cos^2\theta} \end{eqnarray*}$$

El $x$ -El eje se encuentra con el Círculo Asociado de la Izquierda en el punto $(\frac{-p}{1+e},0)$ (donde el LAC se encuentra con la cónica) y en el punto $(p,0)$ (donde el LAC se encuentra con el Círculo Auxiliar). Así, el LAC tiene centro y radio dados por ...

$$\begin{eqnarray*} K = \left(\frac{p e}{2(1+e)}, 0\right) \hspace{0.5in} s = \frac{p(2+e)}{2(1+e)} \end{eqnarray*}$$

Ahora, simplemente calcula...

$$\begin{eqnarray*} |CK| &=& \frac{p e ( 1 + 2 e \cos^2\theta + e^2 \cos^2\theta )}{2(1+e)(1-e^2 \cos^2\theta)} \\\\ &=& \frac{p ( 2(1+e) - ( 2 + e )( 1 - e^2 \cos^2\theta ) )}{2(1+e)(1-e^2 \cos^2\theta)} \\\\ &=& \frac{p}{(1-e^2 \cos^2\theta)} - \frac{p ( 2 + e )}{2(1+e)} \\\\ &=& r - s \hspace{0.25in} QED \end{eqnarray*}$$

El argumento parece aplicable a todas las cónicas, con esta salvedad: para $e > 1$ restringimos el dominio de $\theta$ para que $|\cos\theta|\le 1/e$ que mantiene los puntos extremos de la cuerda focal en la misma rama de la hipérbola.

Answer 3

¿Cómo se puede descubra el Círculo de Asociados? Es el sobre de la familia de los círculos de cuerdas focales.

Encontrar una envolvente de una familia de curvas -por ejemplo, parametrizada por $\theta$ -- es conceptualmente sencillo (aunque a menudo es complicado desde el punto de vista computacional): eliminar $\theta$ del sistema

$$\begin{eqnarray*} F(\theta) &=& 0 \\ \frac{\partial}{\partial\theta} F(\theta) &=& 0 \end{eqnarray*}$$

donde $F(\theta)=0$ es la ecuación común de la familia de curvas. Lo que queda es una fórmula para la curva -la "envolvente"- que es tangente a cada curva de la familia.

Para los FCC, empezamos recordando el centro y el radio de mi respuesta anterior :

$$\begin{eqnarray*} C = \frac{p e \cos\theta}{1 - e^2\cos^2\theta}(\cos\theta,\sin\theta) =: (c \cos\theta, c\sin\theta) \hspace{0.5in} r = \frac{p}{1-e^2\cos^2\theta} \end{eqnarray*}$$

La ecuación estándar del círculo es

$$\begin{eqnarray*} (x - c \cos\theta )^2 + ( y - c \sin\theta )^2 = r^2 \end{eqnarray*}$$

para que podamos escribir

$$\begin{eqnarray*} F(\theta) &=& (x-c \cos\theta)^2+(y-c\sin\theta)-r^2 \\ &=& x^2 + y^2 - 2 x c \cos\theta - 2 y c\sin\theta + c^2 - r^2 \\ &=& x^2 + y^2 - 2 x \frac{p e \cos^2\theta}{1-e^2\cos^2\theta} - 2 y \frac{p e \cos\theta\sin\theta}{1-e^2\cos^2\theta} - \frac{p^2}{1-e^2\cos^2\theta} \end{eqnarray*}$$

Dejaré que el lector calcule $\frac{\partial}{\partial \theta}F$ y trabajar a través de la eliminación de $\theta$ . En mi intento, llegué a un gran polinomio, uno de cuyos factores da la ecuación

$$\begin{eqnarray*} p^2 + e p x - x^2 ( 1 + e ) - y^2 ( 1 + e ) = 0 \end{eqnarray*}$$

para que,

$$\begin{eqnarray*} \left( x - \frac{p e}{2(1+e)}\right)^2 + y^2 = \left( \frac{p(2+e)}{2(1+e)} \right)^2 \end{eqnarray*}$$

Este círculo tiene centro y radio que coinciden con $K$ y $s$ en mi respuesta anterior; ¡es el Círculo de Asociados!

Pero... espera... un segundo factor de mi polinomio es una especie de "conjugado" del anterior:

$$\begin{eqnarray*} \left( x - \frac{p e}{2(1-e)}\right)^2 + y^2 = \left( \frac{p(2-e)}{2(1-e)} \right)^2 \end{eqnarray*}$$

Para $0 \le e < 1$ En el caso de la elipse, esta circunferencia es tangente a los "otros extremos" de la circunferencia auxiliar y de la elipse, así como tangente al "exterior" de las circunferencias de las cuerdas focales:

(Hmmmm ... Parece que tengo el efecto de "gif nervioso" de J.M. después de la carga. ¿Qué pasa con eso? El original se renderiza perfectamente en mi Mac).

Para el caso parabólico $e=1$ la ecuación del factor se convierte en $p^2+px = 0$ para que $x = -p$ . Aquí, el "círculo" es una línea vertical tangente al Círculo Auxiliar. Podríamos haber sospechado la existencia de esta línea a partir de la animación parabólica en la respuesta de J.M. Observar cómo los círculos rojos abrazan el borde izquierdo del gráfico.

Para el caso hiperbólico $e>1$ obtenemos una variación adecuada:

Así que, de hecho, tenemos dos Asociar los Círculos, lo que podríamos llamar "interno" (original de @srujana) y "externo".

(Un tercer factor de mi polinomio representa un punto-círculo en $(-pe/2,0)$ . El último factor es un extraño polinomio de grado seis con una elaborada trama. Estas parecen ser "soluciones" extrañas al sistema, y pueden no haber aparecido si hubiera seguido una ruta diferente en mi $\theta$ -eliminación).

Por supuesto, a pesar de haber revelado un gemelo asociado, esta metodología no es una solución más perspicaz que con el enfoque de coordenadas. De hecho, parece menos perspicaz, ya que las ecuaciones finales resultan ser un factor de un lío de polinomios. Me pregunto qué es realmente que está pasando...