La proyección es un mapa abierto

Question

Que $X$ y $Y$ (cualquiera) que espacios topológicos. Muestran que la proyección

$\pi_1$ : $X\times Y\to X$

es un mapa abierto .

Answer 1

Deje $U\subseteq X\times Y$ ser abierto. Entonces, por definición de la topología producto, $U$ es una unión finita de las intersecciones de los conjuntos de la forma $\pi_X^{-1}(V)=V\times Y$ $\pi_Y^{-1}(W)=X\times W$ $V\subseteq X$ $W\subseteq Y$ abierto. Esto significa (en este caso) que podemos sin pérdida de generalidad supongamos $U=V\times W$. Ahora, claramente, $\pi_X(U)=V$ está abierto.

Editar voy a explicar por qué asumo $U=V\times W$. En general, sabemos que $U=\bigcup_{i\in I} \bigcap_{j\in J_i} V_{ij}\times W_{ij}$ $I$ posiblemente infinita, cada una de las $J_i$ un conjunto finito y $V_{ij}\subseteq X$ $W_{ij}\subseteq Y$ abierto. Tenga en cuenta que tenemos \begin{align*} (V_1\times W_1)\cap (V_2\times W_2) &= \{ (v,w) \mid v\in V_1, v\in V_2, w\in W_1, w\in W_2 \} \\&= (V_1\cap V_2)\times (W_1\cap W_2) \end{align*} y esto se generaliza arbitraria de las intersecciones finitas. Ahora, tenemos \begin{align*} \pi_X(U)&=\pi_X\left(\bigcup_{i\in I}~ \bigcap_{j\in J_i} V_{ij}\times W_{ij}\right) =\bigcup_{i\in I}~ \pi_X\left(\left(\bigcap_{j\in J_i} V_{ij}\right)\times \left(\bigcap_{j\in J_i} W_{ij}\right)\right) = \bigcup_{i\in I}~ \bigcap_{j\in J_i} V_{ij} =: V \end{align*} y $V\subseteq X$ es abierto, ya que se trata de una unión de la intersección finita de abiertos conjuntos. Nota para la primera igualdad también que la formación de la imagen bajo cualquier mapa de los viajes con los sindicatos.

Answer 2

Un enfoque similar es el siguiente: deje que $\pi_1 :X \times Y \to X$ ser la proyección y $U \subset X \times Y$ está abierto.

Debemos mostrar que $\pi_1(U)$ está abierto. Para esto dejó $x_0 \in \pi(U)$. Entonces $x_0 = \pi(a_0,b_0)$ % par $(a_0,b_0) \in U$. Desde $(a_0,b_0) \in U$ podemos encontrar dos abre $a_0 \in R$ $b_0 \in S$ $R \times S \subset U$. Significa $R \subset \pi_1(U)$ y tenemos $x_0 \in R$.

Ahora, $\pi_1(U)$ es una Unión de abre.

Answer 3

Yo estaba trabajando a través de este mismo problema y me gustaría compartir mi solución, ya que hay algunos problemas con la otra respuesta (y no fue aceptada). Por favor, siéntase libre de señalar los defectos, por supuesto.

Deje $U$ ser un conjunto abierto en $X\times Y$. A continuación, $U$ es una unión de intersecciones finitas de elementos de $$ \mathcal S = \left\{\pi_1^{-1}(A) : A\text{ open in } X\right\} \cup \left\{\pi_2^{-1}(B) : B \text{ open in } Y\right\},$$ es decir, $$ U = \bigcup_{\alpha\in I}\bigcap_{i\in J_i} S_{\alpha, i} $$ donde cada una de las $J_i$ es finito y cada una de las $S_{\alpha, i}$$\mathcal S$. Podemos escribir cada una de las $S_{\alpha,i}=\pi_1^{-1}(V_{\alpha,i})\cap\pi_2^{-1}(W_{\alpha,i})$, donde cada una de las $V_{\alpha, i}$ está abierto en $X$ y cada una de las $W_{\alpha,i}$ está abierto en $Y$ (lo que permite la posibilidad de que $V_{\alpha,i}=X$ o $W_{\alpha,i}=Y$). Como $$ \pi_1^{-1}(V_{\alpha,i})=V_{\alpha,i}\times Y \text{ and } \pi_2^{-1}(W_{\alpha,i})=X\times W_{\alpha,i}$$ de ello se sigue que $$\pi_1^{-1}(V_{\alpha,i})\cap\pi_2^{-1}(W_{\alpha,i}) = (V_{\alpha,i}\times Y)\cap (X\times W_{\alpha,i}) = V_{\alpha,i}\times W_{\alpha,i}.$$ Dejando $V_\alpha=\bigcap_{i\in J_i} V_{\alpha,i}$$W_\alpha = \bigcap_{i\in J_i}W_{\alpha,i}$, tenemos $$U = \bigcup_{\alpha\in I}\bigcap_{i\in J_i} V_{\alpha,i}\cap W_{\alpha,i} = \bigcup_{\alpha\in I}V_\alpha\times W_\alpha,$$ donde cada una de las $V_\alpha$ está abierto en $X$ y cada una de las $W_\alpha$ está abierto en $Y$. De ello se sigue que $$ \pi_1(U) = \pi_1\left(\bigcup_{\alpha\in I}V_\alpha\times W\alpha \right) = \bigcup_{\alpha\in I}\pi_1(V_\alpha\times W_\alpha) = \bigcup_{\alpha\in I'}V_\alpha $$ (donde $I' = \{\alpha \in I : W_\alpha\ne\varnothing\}$) es abierto en $X$. Llegamos a la conclusión de que $\pi_1$ es una carta abierta.