Me deja compilar algunos comentarios en una respuesta.
Por ahora parece claro que la cuestión se basa en un error / memoria defectuosa del campo axiomas. Me dicen que es completamente estándar que $1 \neq 0$ se incluye en el campo axiomas. Por "completamente estándar", me refiero a que cada fuente de confianza sobre el tema en los últimos $50$ de años hace de esta manera, y que al menos el 99,9% de las personas que hablan acerca de los "campos" en el resumen algebraicas sentido decir incluir a este axioma.
Si no se incluye este axioma, entonces, como otros han señalado, la única estructura que se obtiene es lo que usualmente se conoce como el cero del anillo: la única, hasta el isomorfismo anillo con un único elemento, que por lo tanto actúa como un aditivo de identidad $0$ y una identidad multiplicativa $1$.
(El cero del anillo es sin duda un anillo, aunque una pequeña minoría de fuentes confiables que la excluyen. No deberían de hacer lo que queremos, para cualquier ideal I $$ en un anillo de $R$, para definir el cociente del anillo $R/I$. Si $I = R$, a continuación, este cociente es el cero del anillo. Usted podría pensar: "bueno, muy Bien, vamos a decir que no podemos tomar el cociente por el ideal $I = R$. Por ejemplo, tal vez vamos a decir que $R$ no es un ideal de $R$". Pero esto es una mala convención, especialmente el último, ya que en la práctica un ideal es a menudo determinado por un conjunto de generadores, y por lo general no se puede decir mirando a los generadores ya que generan la unidad ideal $R$ o no. Por ejemplo, si $a_1,\ldots,a_n$ son números enteros, entonces de acuerdo a este convenio sólo podemos considerar el anillo de $\mathbb{Z}/\langle a_1,\ldots,a_n \rangle$, si hay algo de $d \geq 2$, que divide a cada uno de $a_1,\ldots,a_n$. Así que tenemos trabajo que hacer antes de saber si nos pueden escribir el cociente del anillo o no! En el más complicado de los anillos de esto se hace más difícil o prácticamente imposible.)
Las razones para la exclusión de la zero anillo de ser un campo ya han sido bien descrito por otros. En particular, la perspectiva moderna sobre anillos conmutativos es centrar la atención en los módulos de todo el anillo. (Un inciso, la Morita de la teoría en la conmutativa caso simplemente se dice que dos anillos conmutativos con isomorfo módulo de categorías son isomorfos.) Pero el único módulo sobre el cero del anillo es el cero del módulo. Así, a diferencia de todos los demás anillos de satisfacción de los restantes campo axiomas, no hay ninguna que no sea trivial espacios vectoriales sobre el cero del anillo y por lo tanto no trivial de álgebra lineal. También tenemos la importante noción de un módulo sencillo, que es un módulo distinto de cero con sólo el cero módulo como un submódulo, y no es el hecho importante de que si $N \subconjunto de M$ son $R$-módulos, entonces $N$ es un maximal submódulo de $M$ ffi $M/N$ es un módulo sencillo.
Entonces existe la noción de un simple anillo conmutativo, que es un anillo tal que $R$ es simple como un $R$-módulo. Esto significa que $R$ no es el cero del anillo, pero la única ideales de $R$ $(0)$ y $R$. Es fácil ver que un anillo conmutativo si un simple iff es un campo. En particular, dado que los ideales son $R$-submódulos de $R$, un ideal $I$ de $R$ es máxima iff $R/I$ es un campo. Como Qiaochu Yuan le gusta decir, el cero del anillo es "demasiado simple para ser simple": inclusión como un campo de tornillo de todo esto.
Permítanme terminar con algunos comentarios acerca de olvido sobre el campo axioma $1 \neq 0$. En el contexto de análisis de los cursos, los campos aparecen en el comienzo, pero sólo de un modo muy superficial. Cada texto de análisis sé que trata de campos incluye $1 \neq 0$ entre el campo axiomas. Sin embargo, acabo de comprobar Rudin los Principios de Análisis Matemático y Spivak del Cálculo, y a pesar de que lo incluyen, lo hacen de una manera que hace que sea fácil de olvidar. Es decir, que la puso en una especie de piloto en el axioma de la existencia de una identidad multiplicativa. Desde la perspectiva de álgebra abstracta esta es una extraña enfoque, ya que la existencia de una identidad multiplicativa es uno de los axiomas de anillo, y no es un anillo en el que $0 = 1$, por lo que no debería decir que $0 \neq 1$ en el mismo soplo que estamos afirmando la existencia de $1$. Pero no encuentro la definición de un anillo de análisis real, normalmente.
Por otro lado, observe cómo el campo axiomas están expresados en $\$ S 1.2 de estos honores de cálculo de notas escritas por un algebrista. Hace que sea más difícil olvidar que $0 \neq 1$!
