Inversa de a $y = x^3 + x$?

Question

Me puedes ayudar a encontrar la función inversa de a $y = x^3 + x$? Esta pregunta fue planteada al principio de Cálculo de AP, así que no puede usar ninguna de las matemáticas más allá de precalc.

Gracias!

Answer 1

Escribir $x^{3}+x-y=0$ y hacer $x=u+v$. Usted obtener $$u^{3}+v^{3}-y+\left( u+v\right) \left( 3uv+1\right) =0.$$ Entonces resolver el sistema

$$\left\{ \begin{array}{c} u^{3}+v^{3}=y \\ u^{3}v^{3}=-\frac{1}{27}, \end{array} \right. $$

que es equivalente a la solución de una ecuación de segundo grado en $u^3$ o $v^3$, porque usted sabe que la suma de los dos números de $u^3,v^3$ y su producto, por ejemplo, la ecuación

$$\left( u^{3}\right) ^{2}-yu^{3}-\frac{1}{27}=0.$$

Esta técnica es conocida como el método de Cardano.

Referencia: Sebastião e Silva y Silva Paulo, Compêndio de Álgebra, ano VII, pp.215-216, 1963

Answer 2

Para lo que vale, la solución real se ve algo como esto$$x = \sqrt[3]{\frac{y + \sqrt{\tfrac{4}{27} + y^2}}{2}} - \sqrt[3]{\frac{\tfrac{2}{27}}{y + \sqrt{\tfrac{4}{27} + y^2}}} $$ y también hay dos soluciones complejas relacionadas con las raíces cúbicas de $-1$.

Answer 3

Tengo serias dudas de que se esperaba encontrar la función inversa de forma explícita, como probablemente es claro a partir de las anteriores respuestas. Pero es muy instructivo, para convencerse de que no es una función inversa. Incluso es posible que la intención de la pregunta era para ilustrar que, si bien puede ser fácil de ver que una función tiene una inversa, puede ser extremadamente difícil, o imposible, para escribir la inversa abajo explcitly. En este caso, si bien existe una fórmula explícita para la inversa, es complicado. A veces, simplemente no es la manera de escribir explícitamente la función en términos de una fórmula.

Pero ya es instructivo para preguntar por qué la función tiene una inversa. Una función tiene inversa si y sólo si es de uno a uno y de a (es decir, un bijection). La función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ a (surjective), debido a que $f(x) \to -\infty$ $x \to -\infty$ $f(x) \to +\infty$ $x \to +\infty$ (y, como es continua en todas partes, que toma todos los valores intermedios, aunque no estoy seguro de cómo iba a ser incluso que en una de precálculo a nivel, necesitamos algún tipo de continuidad). La función de $f$ es de uno a uno (inyectiva) porque si $x^3 + x = z^3 + z$ $x \neq z,$ podemos obtener fácilmente $x^2 + xz + z^2 = -1$, por lo que el $(x+\frac{z}{2})^2 + \frac{3z^2}{4} = -1,$ una contradicción.