Es $\displaystyle \sum_{t=1}^{\infty} e^{-\sqrt{t}}$ finito? Esta no es la tarea. En realidad, un sistema de álgebra paquete me ha dicho que es finito, pero me gustaría ver una prueba. El enfoque No merece la pena intentar que me ha ocurrido - una sugerencia se agradece...
Respuesta
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Oli
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Tenga en cuenta que $$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots.$$
Poner $x=\sqrt{t}$. Conseguimos que los si $t\gt 0$ $$e^{\sqrt{t}}\gt \frac{t^2}{4!}.$$
Por lo tanto el $t$-ésimo término de la serie es $\lt \dfrac{24}{t^2}$.
La serie $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ es convergente, y por lo tanto también lo es $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{24}{n^2}$. Así, por medio de la Comparación de nuestra serie converge.
Comentario: Una muy similar argumento muestra que si $\delta$ es cualquier constante positiva, entonces $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{e^{n^\delta}}$ converge.
