Cada relación es transitiva y simétrica también reflexiva?

Question

He visto una prueba de que cada relación es simétrica y transitiva también es reflexiva.

si $A=\{1,2,3\}$ si $R=\{(1,2)(2,1)(1,1)\color{blue}{(2,2)}\}$

aquí $R$ es simétrica y transitiva en a $A$ pero no reflexiva de la derecha?

¿Alguien puede aclarar esta confusión para mí?

Answer 1

Cada relación es transitiva y simétrica es reflexiva en su dominio, donde el dominio $dom(R)$ de una relación $R$ es $$ dom(R) := \{x \mid \existe y\, xRy \} $$ (y donde, como de costumbre, $xRy$$(x,y) \in R$). Esto es fácil de demostrar: si $x\in dom(R)$, $xRy$ algunos $y$, lo $yRx$ por simetría, y, a continuación, $xRx$ por transitividad.

El dominio de la relación $R$ que la exposición es $\{1,2\}$, no todos los de $A = \{1,2,3\}$.

Answer 2

Ante todo, esta relación se define no es transitiva porque de lo siguiente: $2 \sim 1, 1 \sim 2$, pero $2$ no es equivalente a $2$, que debe ser el caso en virtud de la transitividad.

En segundo lugar, cada relación es simétrica y transitiva no es necesariamente reflexiva. Generalmente el (falso) la prueba se desarrolla como sigue:

$a\sim b$, por lo que, a continuación, por la simetría $b\sim a$, luego por transitividad, $a \sim a$.

Sin embargo, este argumento se basa en el hecho de que $\exists \, b $ tal que $a\sim b$, que no tiene que ser el caso.

Considerar la relación: $A = \{1, 2, 3\}, R = \{(1,2), (2, 1), (1, 1), (2, 2)\}$. Es simétrica y transitiva, pero no reflexiva. Tenga en cuenta que no existe tal elemento $b$ donde $3 \sim b$.

Answer 3

si usted tack $A=\{1,2,3\}$ $R=\{(1,2),(1,1),(2,1),(2,2)\}$ $R$ es tanto simétrica y transitiva de la relación en $A$ pero no reflexiva porque $(3,3)\not\in R$