Ejemplo de espacio de Hausdorff $X$ s.t. $C_b(X)$ no separa a los puntos?

Question

Sabemos que la Stone-Weierstrass teorema localmente compacto Hausdorff espacios (LCH), que establece lo siguiente:

Teorema: Supongamos $X$ es LCH. Una subalgebra $\mathcal{A}$ $C_0(X)$ es denso si y sólo si se separa puntos ($\forall x,y \in X : x\neq y \implies \exists f \in \mathcal{A}: f(x) \neq f(y)$) y desaparece en la nada $(\forall x \in X \exists f \in \mathcal{A} : f(x) \neq 0$) y es cerrado bajo compleja conjugación¹.

También es fácil demostrar que los $C_b(X)$, la continua y acotada de funciones en un espacio topológico $X$, es un espacio de Banach². Sería evidente para intentar mostrar una variante de Stone-Weierstrass para $C_b(X)$ donde $X$ es meramente Hausdorff, y puesto que es obvio que es denso en sí mismo, por un teorema de existir sería necesario que $C_b(X)$ separa los puntos (que se desvanece en ninguna parte está claro: contiene la constante de funciones).

He tratado de llegar con un ejemplo de un espacio de Hausdorff donde $C_b(X)$ falla puntos separados (por ejemplo, esto podría ser un espacio donde todos los no-constante función continua es ilimitado), pero fue en vano. Así que ¿alguien de casualidad tienes un ejemplo muy instructivo todo mentira?

PS: Es un ejercicio interesante para demostrar que, dado un LCH espacio de $X$ las funciones continuas con soporte compacto, $C_{00}(X)$, separa puntos y desaparece en la nada. Se llega a utilizar muchos de los teoremas de la topología en el proceso de construcción de una función continua tal que $f(x)=1$ $f(y)=0$ dado distintos puntos de $x,y \in X$ [Sugerencia: Encontrar un buen subconjunto compacto y el uso de Urysohn del lema].

[1]: En el caso de los valores de las funciones de esta es, esencialmente, un no-op, por lo que su inclusión en el teorema de la declaración no duele.

[2]: [Car00] se muestra en el Lema 10.8 que $B(X)$, el conjunto de los delimitadas las funciones en un conjunto $X$ es un espacio de Banach, y es un corolario inmediato de Thm 10.4 que $C_b(X)$ es cerrado en $B(X)$ $X$ un espacio métrico. Por supuesto, esto se generaliza fácilmente para el caso de $X$ un espacio topológico.

Answer 1

Mirando a la mesa en la parte de atrás de Contraejemplos en la Topología, el primer espacio que es Hausdorff, pero no Urysohn (que en ese libro significa $C(X)$ no separan los puntos) es la relativamente primer entero de la topología. Es decir, la topología en $\mathbb{N}\setminus \{0\}$ con base a todos los conjuntos de la forma $\{b+na|n \in \mathbb{N}\}$ $a$, $b$ coprime.

Hausdorff es fácil: si $k, l \in \mathbb{N}\setminus \{0\}$, tomar un primer $p$ mayor que tanto y considerar el abrir de los barrios de $\{k+np \}, \{l+np \}$.

$C(X)$ falla a puntos separados, porque cualquiera de los dos abierto básicos de los juegos de nondisjoint cierres, desde el cierre de las $\{b+na \}$ contiene todos los multiplica de $a$.

Answer 2

Sólo voy a señalar que acotamiento no es la obstrucción: cualquier espacio que admite un no constante con un valor real función continua admite que es acotado, y si $C(X,\mathbb{R})$ separa los puntos, así que no $C_b(X,\mathbb{R})$. Esto es fácil de ver: si $f$ es continua y $f(x_1)=a < b = f(x_2)$, $g(x) = (f(x) \vee a) \wedge b$ es continua y acotada y también ha $g(x_1)=a<b=g(x_2)$.

Sin embargo, las funciones continuas con soporte compacto puede no ser suficiente si $X$ no es localmente compacto, incluso si es metrizable. Por ejemplo, es un buen ejercicio para comprobar que si $X$ es un infinito-dimensional espacio de Banach, el único valor real función continua en $X$ con soporte compacto es la función cero, es decir, en su notación $C_{00}(X) = \{0\}$. (Creo que la mayoría de los autores llaman a este espacio $C_0(X)$ o $C_c(X)$.)

Answer 3

Recomiendo este corto 1971 nota de la T. E. Gantner. Primera prueba:

Teorema: Cada espacio normal $Z$ puede ser incorporado como un subespacio de un espacio normal $Q(Z)$ de manera tal que cada continuo, con un valor real de la función en $Q(Z)$ es constante en $Z$.

Él se aplica el teorema de la siguiente manera: tome $X_0$, un punto del espacio, y de manera inductiva, para todos los $n \in \mathbb{N}$, definir $X_{n+1} = Q(X_n)$. Deje $X = \lim_{n \rightarrow \infty} X_n$, dotado con el directo de límite (o final) de la topología. A continuación, $X$ es un infinito espacio normal en la que todos los continuo con un valor real de la función es constante.