Hay una manera estándar para calcular los $\lim\limits_{n\to\infty}(\frac{n!}{n^n})^{1/n}$?

Question

Estoy calcular el radio de convergencia de algunos complejos de alimentación de la serie. Para que nadie me necesita para calcular $$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n!}{n^n}\right)^{1/n}.$$

Sé que la respuesta es $\frac{1}{e}$, por lo que la radio es $e$. Pero, ¿cómo podría usted calcular esta en la mano? Traté de tomar los logaritmos y elevar $e$ por esta logaritmo, pero no me llevan al límite correcto. (Esto es sólo la práctica, no a la tarea.)

Answer 1

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} \to L \implies (a_n)^{1/n} \to L$$

Answer 2

Hay dos fórmulas para calcular el radio de convergencia de la serie $\sum\limits_{n=1}^\infty{c_n}z^n$ $$ \frac{1}{R}=\lim\limits_{n\to\infty}|c_n|^{1/n}=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right|. $$ El uso de la segunda.

Answer 3

Podemos, en efecto, considerar la posibilidad de logaritmos (entre otros métodos). Para ver esto, llame a la $n$th plazo $x_n$, luego $$ \log(x_n)=n^{-1}\log(n!)-\log(n)=n^{-1}\sum_{k=1}^n\log(k/n). $$ Esta es una suma de Riemann, por lo tanto, cuando se $n\to\infty$, $$ \log(x_n)\a\int_0^1\log(x)\mathrm dx=\left[x\log(x)-x\right]_0^1=-1, $$ es decir, $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=1/\mathrm e$.

Answer 4

Stirling con la fórmula de la $n!$ funciona de maravilla aquí, pero supongo que no puede calificar como "computación en la mano"?

Sólo en aras de la exhaustividad, Stirling, la fórmula de los estados que

$$n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$$

o:

$$\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{n!}{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n} = 1$$

La sustitución de la RHS a partir de la primera ecuación y tomando el límite cuando $n \to \infty$ bastante mucho los rendimientos de la solución al instante.