Necesito calcular el género de la Curva de Fermat, y me gustaría ser revisado en lo que he hecho hasta ahora; yo no estoy seguro de mi argumentación.
Dicha curva se define como el locus de cero $$X=\{[x:y:z]\in\mathbb{P}^2:x^d+y^d+z^d=0\}$$ Es definida por el polinomio homogéneo $F(x,y,z)=x^d+y^d+z^d$ cual es, obviamente, no singular, por lo tanto, $X$ es un buen proyectiva del plano de la curva. Ahora, considero que la proyección $$ \begin{array}{cccc} \pi:&X&\longrightarrow&\mathbb{P}^1\\ &[x:y:z]&\longmapsto&[x:y] \end{array} $$ que es un bien definido holomorphic función. Necesito calcular el $\pi$'s de grado, y para esto tengo que calcular la suma de las multiplicidades de la set $\{p:p\in\pi^{-1}(y)\}$, para cualquier $y$$\pi(X)$; dado que el grado es constante, cualquiera de dichas $y$ va a hacer.
Tomamos nota de que, a partir de Miranda de Riemann Superficies y Curvas Algebraicas' Lema 4.6 en la página 46, que $\pi$ tiene un punto de ramificación en $p\in X$ si y sólo si $\frac{\partial F}{\partial z}(p)=0$
Teniendo en cuenta esto, para calcular el grado, elegí $[1:0]\in\mathbb{P}^1$; y para esta $$\pi^{-1}([1:0])=\{[1:0:z]:1+z^d=0\}$$ Ahora puedo ver claramente que $|\pi^{-1}([1:0])|=d$ (el d-ésimo raíces de $-1$), y cada uno tiene multiplicidad 1 (debido a que no son puntos de ramificación, como el mencionado lema de los estados); por lo tanto, el grado de $\pi$$d$.
Ahora, desde el Lema de nuevo, la ramificación de los puntos de $\pi$ son los que $z=0$, es decir, los puntos de $\{[x:y:0]\in\mathbb{P}^2:x^d+y^d=1\}$ homogéneas las coordenadas de los puntos son de la forma $[1:y:0]$ donde $y$ es un d-th raíces de $-1$ y a partir de esto llegamos a la conclusión de que $\pi$ $d$ puntos de ramificación, y esos son $$ \left[ 1:e^{\dfrac{2\pi i k}{d}}:0\right] $$
Para calcular la multiplicidad de cada uno de estos puntos he utilizado el siguiente argumento, que no estoy seguro de si es correcto: para un punto de $[x:y]\in\mathbb{P}^1$ tal que $x^d+y^d=0$, $\pi^{-1}([x:y])=\{[x:y:0]\}$ y, por tanto,$|\pi^{-1}([x:y])|=1$. Dado que el grado de $\pi$ es $d$, $d$ es también la multiplicidad de cada punto de ramificación de la $\pi$.
Lo que sigue no es la aplicación de Hurwitz la fórmula (y tomando nota de que $g(\mathbb{P}^1)=0$ y muy fácil de cálculo a la conclusión de que la $g(x)=\dfrac{(d-1)(d-2)}{2}$.
Ahora debo pedir disculpas por el largo, largo el texto, pero me será muy agradecido por cualquier corrección hecha en mi argumentación!
