¿cómo evalúa el p-ádico de forma modular E_p-1 en la región de |j|<1

Question

antecedentes/motivación

vamos a E_k denotar la forma modular de nivel uno y el peso k con p-expansión dada por $E_k(q)=1- \frac{2k}{b_k}\sum_n \sigma_{k-1}(n)q^n$ donde σ_i es el divisor de la suma y b,_k es el k-ésimo número de bernoulli. para k = p – 1 el denominador de esta serie no contienen potencias de p y, por tanto, por el q-expansión principio E_p–1 define una forma modular de más de ℤ_p. que es, E_p–1 ∈ H⁰(X₀(1), ℤ_p ⊗ ω^⊗k) donde X₀(1) es el compactified modular de la curva para el pleno modular grupo, y ω es el pushforward de la canónica paquete en el universal de curva elíptica sobre ℤ.

ahora puedo usar p-ádico uniformidad para evaluar E_p–1 a través de su q-expansión en curvas elípticas con el j-invariante la satisfacción de | j | > 1; en términos concretos, esto significa formalmente la inversión de la energía de la serie de 1/j(q), y luego evaluar *E_p-1(q) en el resultado.

no creo que uno debe esperar para obtener un valor definido en ℂ_p de E_p–1 evaluado en curvas elípticas para que | j | < 1 (como lo haría con un formato modular sobre ℂ), ya que esto significaría la elección de un no-fuga diferencial en el universal de curva elíptica sobre ℤ_p. la norma |E_p–1 |, sin embargo, es bien definido, ya que cualquiera de las dos opciones de base para la canonial paquete en una determinada curva elíptica puede sólo difieren en una unidad.

por supuesto, el contexto me interesa es cuando |E_p–1| se utiliza para definir la "overconvergent" región el sistema modular de la curva. esto es (aproximadamente) que se define como la región de la $j$de la línea de la satisfacción |E_p–1|>r |r|<1. esta región (siempre) incluyen la parte de la |j|<1 la región. con el fin de entender lo que |E_p–1|>r "significa" en términos concretos, yo estaba esperando para comparar numéricamente |E₄| y |j| para algunos ℂ_p-valores de j cerca de 0 (para los números primos p = 5, 7, 11, etc. para el cual j = 0 es supersingular).

de todos modos, mi pregunta es:

¿cómo puedo explícitamente evaluar |E_p–1| en curvas elípticas con | j | < 1?

Answer 1

Uno ha $j = E_4^3/\Delta$. En la región de $|j|\leq 1$, uno es la parametrización de curvas elípticas con buena reducción, y por lo $\Delta$ es una unidad. Por lo tanto $|j| = |E_4|^3$. Esto le ayudará a al $p = 5$.

Al $p = 7,$ uno puede escribir $j = 1278 + E_6^2/\Delta,$ por lo tanto $|E_6|^2 = | j - 1728|$ en la región de $|j| \leq 1$.

Para $p = 11$, este tipo de cálculos explícitos son más difíciles (pero tal vez no mucho; ver el material añadido a continuación), debido a que hay dos supersingular $j$-invariantes. Pero el $p = 5$ y 7 casos ya sea ilustrativo.

En el caso de $p = 2$, escribí algo sobre esto una vez, que apareció en un apéndice un artículo de Fernando Gouvea en un Parque de la Ciudad de los procedimientos de volumen. Un poco masacrados versión (faltan figuras, entre otras cosas) se puede encontrar en mi página web(cerca de la parte inferior). También puede buscar en los papeles de Ratonero--Calegari para los cálculos relacionados con, así como mi tesis (disponible en mi página web) y más tarde trabajo por Kilford y Ratonero--Kilford. (Hay, o al menos una vez fue, una industria artesanal basados en la combinación de estos tipos de cálculos explícitos con algunos más teóricos las estimaciones para el cálculo de la información sobre las inclinaciones de overconvergent $p$-ádico formas modulares para varios pequeños primos $p$.)

Añadido en respuesta al comentario de abajo: Para $p = 11$, uno tiene $E_{10} = E_4 E_6,$ por lo $E_{10}^6 = j^2(j-1728)^3 \Delta^5,$ al $|j| \leq 1,$ uno tiene $|E_{10}|^6 = |j|^2|j-1728|^3.$ Tal vez esto ayude?