¿Tiene sentido una transformación de Fourier en una (pseudo)variedad riemanniana?

Question

la transformación de Fourier de una función escalar con respecto a una variable podría definirse como

$\mathcal{F}\left[w\right](\omega )\equiv \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}w(t)e^{-\mathrm{i}\omega t}dt$

En física, esta transformación junto con su generalización, la transformación de Laplace, tiene una enorme importancia por su característica de convertir las ecuaciones diferenciales parciales lineales en algebraicas.

Ahora, supongamos que tenemos una colecta pseudo-riemanniana $\mathcal{M}$ donde $\det{g_{\mu\nu}} = -1$ se mantiene como en la relatividad especial y general.

Me pregunto, ¿cuál sería la generalización de la transformación de Fourier de funciones o formas escalares?

La dificultad que tengo con esta pregunta es que un corte tridimensional de $\mathcal{M}$ no es única, así que ¿cómo tomar la integral de forma invariante? ¿Qué pasará con las diferenciales $dx^{\mu}$ Por ejemplo $dt,dx^i\rightarrow d\omega dx^i$ ¿en algún sentido?

Se agradece cualquier idea.
Gracias de antemano

Robert

Answer 1

Hay tres formas principales de interpretar la transformada de Fourier.

Descomposición relativa a las funciones propias del laplaciano

En $\mathbb{R}^n$ las ondas planas $E_\xi(x) = \exp( i \xi\cdot x)$ pueden interpretarse como funciones propias generalizadas del laplaciano. Es decir, dejemos que

$$ \triangle = \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial}{\partial x_i}\right)^2 $$

entonces tenemos

$$ \triangle E_\xi(x) = -|\xi|^2 E_\xi(x) $$

Nótese que digo "funciones propias generalizadas". Esto se debe a que normalmente se prefiere hacer álgebra lineal/análisis funcional sobre un espacio de producto interno completo (un espacio de Hilbert), y en el caso de las funciones sobre el espacio euclidiano, se suele preferir trabajar sobre el espacio de Hilbert de las funciones cuadradas integrables. Las funciones $E_\xi(x)$ sin embargo, no pertenecen al espacio de Hilbert.

Pero a grandes rasgos, la representación de Fourier de una función

$$ f(x) = \int_{\mathbb{R}^n} \hat{f}(\xi) E_\xi(x) d\xi $$

puede considerarse como una descomposición de $f(x)$ en términos de una combinación lineal de funciones propias del Laplaciano.

En esta forma, como mencionó Raskolnikov en el comentario, hay una generalización natural a las variedades riemannianas compactas . Dejemos que $(M,g)$ sea una variedad compacta de Riemann, y sea $\triangle_g$ denotan el operador de Laplace-Beltrami asociado. Se tiene que $\triangle_g$ es un operador densamente definido, no acotado y autoadjunto en $L^2(M)$ el espacio de las funciones cuadradas integrables en la variedad $M$ . Resulta que (utilizando un poco de teoría de ecuaciones diferenciales parciales lineales y un poco de análisis funcional), $\triangle_g$ es invertible si restringimos el codominio a funciones de media 0 en $M$ . El operador $\triangle_g^{-1}$ además resulta ser un operador compacto, y por tanto tiene valores propios discretos con espacios propios de dimensión finita en $L^2$ por el teorema espectral para operadores compactos. Está claro por definición que las funciones propias de $\triangle_g^{-1}$ serán también funciones propias para $\triangle_g$ (sólo hay que cambiar el valor propio $\lambda \to \lambda^{-1}$ . Utilizando el teorema espectral podemos escribir una función integrable cuadrada arbitraria en $M$ como una combinación lineal única del conjunto de funciones propias.

Esta es una interpretación de la transformada de Fourier.

Se puede afinar más esta teoría en dos direcciones. Para las funciones (y en menor medida los tensores), en lugar de descomponer explícitamente utilizando una base propia de $L^2$ se pueden estudiar los "cortes de frecuencia suaves" considerando el flujo de calor en el colector. Es decir, dada una función $f$ Consideremos la solución de la ecuación del calor $u(t,x)$ definido en $\mathbb{R}_+ \times M$

$$ \partial_t u = \triangle_g u, \quad u(0,x) = f(x) $$

y estudio, el corte de $f$ por una función bump $\zeta$ en las frecuencias en el siguiente sentido: tomar una función no negativa $\zeta\in C^\infty_0(\mathbb{R}_+)$ y considerar la familia de funciones de un parámetro

$$ f_\lambda(x) = \int_0^\infty \zeta(\lambda t) u(t,x) dt $$

a grandes rasgos $f_\lambda(x)$ corresponde aquí, en el caso del espacio euclidiano, a la restricción

$$ \int_{\frac12 \lambda <|\xi|< 2\lambda} \hat{f}(\xi) E_\xi(x) d\xi $$

de la función a las frecuencias espaciales que se acercan, en valor absoluto, a $\lambda$ . Esta teoría se desarrolla más en el libro de Eli Stein "Topics in Harmonic Analysis related to Littlewood-Paley Theory".

Otra generalización de esta descomposición es aplicable no sólo a las funciones, sino también a las formas diferenciales. En esta generalización, en lugar de considerar el operador de Laplace-Beltrami, consideramos el operador de Hodge-Laplace definido para las formas diferenciales. Resulta que esencialmente el mismo argumento que para el caso escalar da lugar a una descomposición de las formas diferenciales cuadradas-integrables en tres categorías, las formas armónicas, las formas exactas y las formas coexactas. Esto recibe el nombre de Teoría de Hodge Y te remito a Wikipedia, y también a "Lectures on Elliptic Boundary Value Problems" de S. Agmon, entre otros muchos y muy buenos libros de esta materia.

Transformada de Fourier y teoría de la representación

Otra forma de tratar la transformada de Fourier en el espacio euclidiano es desde el punto de vista del espacio euclidiano como un grupo abeliano de Lie (en particular un grupo topológico localmente compacto) que es "autodual".

A grandes rasgos, para un grupo topológico abeliano localmente compacto $G$ se puede considerar el conjunto de homomorfismos de grupo de $G\to T$ , donde $T$ es el grupo circular unidimensional. En el caso $G = \mathbb{R}^n$ vemos que cada una de las funciones $E_\xi(x)$ es uno de esos homomorfismos de grupo. Este conjunto de homomorfismos de grupo puede convertirse en otro grupo topológico, conocido como grupo dual de $G$ . En el caso del espacio euclidiano, su grupo dual tiene la misma estructura que otra copia del espacio euclidiano, por lo que decimos que es autodual.

Ahora, dada una medida invariante $\mu$ en $G$ en el sentido de que las traslaciones de grupos en $G$ deja la medida igual (estoy siendo muy bruto aquí y barriendo muchas cosas bajo la alfombra), resulta que podemos definir el análogo de la transformada de Fourier por la misma fórmula

$$ \int_G f(x) E_{-\xi}(x) d\mu(x) $$

donde $\xi$ es un parámetro natural del grupo dual de $G$ . Así que, en particular, esta teoría es aplicable al caso en el que partimos de una variedad riemanniana $(M,g)$ que es un grupo de Lie o un espacio simétrico. Esta noción es ampliamente aplicable en la teoría de la representación y la teoría analítica de los números, entre otras cosas.

Ver este artículo de Wikipedia Para algunas referencias estándar, véase "Fourier analysis on groups" de Walter Rudin, "Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces" de S. Helgason, y el artículo de Atle Selberg titulado "Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric riemannian spaces, with applications to Dirichlet series".

Simetrías en el colector y transformadas parciales de Fourier

Una forma mucho más pedestre de obtener la transformada de Fourier para las funciones sobre las variedades es simplemente integrar utilizando la fórmula habitual. Pero, como has señalado en tu pregunta, dependiendo de cómo se "corte" el colector, se pueden obtener diferentes representaciones, y puede ser cuestionable si esas representaciones son significativas.

Afortunadamente, en un caso especial podemos tener una fórmula significativa. Sea $(M,g)$ sea una (pseudo)manifestación riemanniana (nótese que este es el único caso que conozco que tiene una extensión natural al caso de las manifestaciones pseudo-riemannianas), y supongamos que admite una simetría continua. Es decir, existe un campo vectorial que no desaparece en ninguna parte $T$ tal que la derivada de Lie $\mathcal{L}_Tg = 0$ En otras palabras $T$ es un vector de muerte. Supongamos además que la simetría que se considera es una gratis y adecuado $\mathbb{R}$ y, por tanto, que las curvas integrales de $T$ son difeomorfos a $\mathbb{R}$ (así que en particular $T$ no tiene órbitas cerradas. También se puede suponer de manera similar que la simetría proviene de un $\mathbb{S}^1$ acción, en cuyo caso todas las curvas integrales son cerradas, por lo que $T$ no tiene órbitas abiertas; en este último caso se tratará de series de Fourier en lugar de la transformada de Fourier, dejaré los cambios obvios necesarios como ejercicio).

Entonces la acción de $T$ define una relación de equivalencia en $M$ y podemos considerar el colector cociente $Q = M / T$ . Por el teorema de la colmena cotizada, este cociente es una colmena lisa y también hereda una estructura riemanniana, pero eso no es demasiado importante ahora.

El punto es el siguiente, podemos escribir un punto $x\in M$ como $(t,q)\in \mathbb{R}\times Q$ , donde $t$ es una coordenada natural en $T$ para que $\partial_t$ corresponde a $\mathcal{L}_T$ en $M$ . Utilizando esta división, se puede tomar la transformada de Fourier en $t$ la forma habitual, escribiendo $f(x) = f(t,q)$

$$ \hat{f}(\tau,q) = \int f(t,q) \exp( - it\tau) dt $$

Que $T$ es un vector de Killing se utiliza aquí para que si se elige un sistema de coordenadas adaptado a la coordenada $t$ la forma de volumen real

$$ \sqrt{|g|} dt dq $$

será independiente de $t$ por lo que cuando se intente hacer un análisis con esta noción de la transformada de Fourier, la fórmula anterior no parecerá que le falta un factor procedente de la forma de volumen (ya que cualquier cosa independiente de $t$ puede ser factorizado, y tomado fuera de la integral, por lo que el peor de los casos es que toda la expresión está fuera sea un factor fijo que depende de $q$ que siempre se puede volver a insertar más tarde).

Esta fórmula también se puede generalizar fácilmente al caso en que $(M,g)$ admite varios campos vectoriales de Killing mutuamente conmutables $T_1, T_2, \ldots, T_k$ . En el caso de $\mathbb{R}^n$ los campos vectoriales de coordenadas estándar forman un conjunto completo de $n$ campos vectoriales de Killing mutuos que abarcan el espacio tangente en cada punto, y esto nos permite tomar la transformada de Fourier "en todas las direcciones".

Esta última formulación es útil sobre todo para estudiar las ecuaciones diferenciales parciales lineales en un espacio-tiempo que es estacionario (por ejemplo, un fondo de agujero negro estacionario). Véanse, por ejemplo, los trabajos de Dafermos y Rodnianski ( papel 1 , papel 2 ).

Answer 2

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