demostrar que para todos los $n\geq 0$ que $3 \mid n^3+6n^2+11n+6$

Question

Estoy teniendo algunos problemas con esta pregunta y no puede conseguir realmente cómo probar esto..

Tengo que probarlo $n^3+6n^2+11n+6$ es divisible por $3$ todos los $n \geq 0$.

He tratado de hacer $\dfrac{m}{3}=n$ y, a continuación, hicimos $m=3n$

entonces me dijo:$3n=n^3+6n^2+11n+6$, pero ahora estoy atascado.

Answer 1

Si usted sabe lo que "mod 3" significa entonces argumentar de la siguiente manera: $$n^3 + 6n^2 + 11n + 6 \equiv n^3 - n = (n-1)n(n+1) \equiv 0 \pmod 3 .$$

Si no, entonces escribo esto como: $$ n^3 - n + 12n + 6n^2 + 6 = n(n+1)(n-1) + 3(2n^2 + 4n + 2), $$ y uno se queda con la que muestra que ambos términos son divisibles por $3$.

Ahora $n(n+1)(n-1)$ es siempre un múltiplo de $3$, debido a que si un número no es múltiplo de 3, entonces cualquiera de las de su predecesor, o de su sucesor debe ser.

Answer 2

Tenemos $$ \begin{align} n^3+6n^2+11n+6 &=6\binom{n}{3}+18\binom{n}{2}+18\binom{n}{1}+6\binom{n}{0}\\ &=6\left(\binom{n}{3}+3\binom{n}{2}+3\binom{n}{1}+\binom{n}{0}\right) \end{align} $$ por lo $6\mid(n^3+6n^2+11n+6)$ todos los $n\in\mathbb{Z}$.

Por supuesto, desde la $3\mid 6$,$3\mid(n^3+6n^2+11n+6)$, como se solicitó.

Answer 3

No hay un algoritmo para encontrar las raíces racionales de un polinomio con coeficientes enteros, y si se usa para factorizar este polinomio se obtiene $$ n^3 + 6n^2 + 11n + 6 = (n+1)(n+2)(n+3). $$ Para cualquier $n$, uno de esos tres factores es un múltiplo de a $3$.

Answer 4

$n^3+6n^2+11n+6=n^3+n^2+5n^2+5n+6n+6=n^2(n+1)+5n(n+1)+6(n+1)=$

$=(n+1)(n^2+5n+6)=(n+1)(n^2+3n+2n+6)=(n+1)(n+2)(n+3)$

Ahora , ya que esta última expresión representa un producto de tres enteros consecutivos tiene que ser divisible por $3$ .