He encontrado un corto e interesante problema: dado un anillo de $(R, +, ⋅)$ y sabiendo que $x ^ 6 = x\ (\forall x\in R)$, demuestran que, a $x ^ 2 = x$ (∀ x ∈ R).
Si bien es corto, no puedo averiguar cómo resolverlo. Si es a la inversa, entonces la solución era simple: $(x ^ 2) ^ 3 = x$.
Dada esta información, puede ser que el problema se resuelva? Si es así, cual es la forma más sencilla de resolverlo?
Considere el caso en que el anillo tiene una unidad (si no, entonces uno podría considerar la posibilidad de $R$ $\mathbb{Z}$- álgebra, pero los detalles cambiaría en ese caso).
Observe $2^6=2$$3^6=3$. En otras palabras, $64=2$$729=3$. Por lo $62=0$$726=0$. Desde $\gcd(62,726)=2$, se deduce que el $2=0$ (por la resta repetida).
Por lo tanto, tenemos un anillo donde se $2=0$. Ahora, considere la posibilidad de $(x+1)^6=(x+1)$. La LHS, se expande como $$ x^6+6x^5+15x^4+20x^3+15x^2+6x+1=x+1. $$ La simplificación de la incluso coeficientes, se sigue que $$ x^6+x^4+x^2+1=x+1. $$ Desde $x^6=x$, sabemos que $x^4+x^2=0$ o que $x^4=x^2$. Desde $x^4=x^2$, multiplicando por $x^2$,$x^6=x^4$$x^6=x^2$, pero desde $x^6=x$, $x=x^2$.
(Hay un par de lugares en este cálculo, donde se debe tener cuidado para asegurarse de que yo no soy infiel, pero las ideas deben funcionar, al menos en el caso de que $R$ tiene una unidad).
Ver Teorema $2.6$ en las notas de la conferencia aquí. Si $x^6=x$ todos los $x$, entonces es fácil mostrar que $x^3+x^5=0$ todos los $x$. También se $-x=(-x)^6=x^6=x$, por lo que el $x=x^6=x\cdot x^5=x\cdot x^3=x^4$. Un paso similar muestra que $x^2=x$ y $R$ es conmutativa.
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