Definir un mapa de $2 \times 2$ invertible matrices lineal fraccional transformaciones $$ f:\left( \begin{array}{ccc} a & b \\ c & d \\\end{array} \right) \mapsto \frac{az + b}{cz + d}.$$ It is well known that $f(AB) = f(A) \circ f(B)$. This is easy to prove: just simplify both sides of the equation. But is there a more conceptual proof that does not involve this computation? Is there a generalization to $3 \times3$ matrices, etc.?
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Fat Mind
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El complejo lineal general de grupo ${\rm GL}_2(\Bbb C)$ actúa en $\Bbb C^2$. Dado que las matrices de actuar de forma lineal, hay un inducida por la acción sobre el complejo proyectiva del espacio (la colección de una dimensión de los subespacios).
Este espacio ${\Bbb P}^1(\Bbb C)$ puede ser definido por poner una relación de equivalencia en el conjunto de distinto de cero puntos $(z,w)$ $\Bbb C^2$ donde $(\lambda z,\lambda w)\sim(z,w)$ todos los $\lambda\in\Bbb C^\times$: entonces las clases de equivalencia será la dimensiones de los subespacios de $\Bbb C^2$ (sin contar el origen, ya que todos los subespacios contener $0$). Todos los puntos pueden ser representados como una tupla $(z,1)$ $z\in\Bbb C$ arbitrarias o como $(1,0)$. Si pensamos en $(z,w)$ como la relación $z/w$ en la denominada esfera de Riemann $\widehat{\Bbb C}$, el punto de $(z,1)$ es $z\in\Bbb C$ mientras $(1,0)$ es $\infty$, de acuerdo a la convención de las $1/0=\infty$.
En resumen, la acción de la ${\rm GL}_2(\Bbb C)$ $\Bbb C^2$ induce una acción en ${\Bbb P}^1(\Bbb C)$ que puede ser transportada a una acción en la esfera de Riemann $\widehat{\Bbb C}=\Bbb C\cup\{\infty\}$. La escritura de la acción explícitamente los rendimientos de estos lineal fraccional de transformaciones, también llamado Mobius transformaciones: $[\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}]z=\frac{az+b}{cz+d}$.
Si un grupo de $G$ actúa en un espacio y $H$ es el subgrupo de elementos que actúan como el mapa de identidad, entonces podemos descender a una acción de $G/H$ sobre el espacio. Desde el subgrupo de la multiplicación por escalares en el grupo lineal general se asigna a cada línea en ${\Bbb P}^1(\Bbb C)$, después de desplomarse redundancia superflua "realmente" tienen una acción de ${\rm PSL}_2(\Bbb C)$${\Bbb P}^1(\Bbb C)$.
De manera más general, una acción de ${\rm GL}_n(\Bbb C)$ desciende a una acción de ${\rm PGL}_n(\Bbb C)$${\Bbb P}^{n-1}(\Bbb C)$.
