Complejo el Análisis de libros de texto - criterios específicos

Question

Esta es mi primera pregunta en este sitio y espero no meter la pata.

Estoy buscando un texto (libro de texto, apuntes, etc.) en Análisis Complejo que cumple con algunos muy específicos desiderata. Ya he buscado a través de los libros recomendados aquí y en MathOverflow, pero hasta ahora no he encontrado nada para satisfacer mis necesidades. (Debo mencionar que tomé un curso de un semestre en la C. A. hace dos años que se presentó de esta manera, así que puede ser un poco parcial aquí.)

1. En primer lugar, los términos "holomorphic" y "analítica" no deben ser usados indistintamente. Aunque no es matemático error mientras el poder de expansión de la serie es el teorema de no asume de forma implícita, es bueno tener algún tipo de distinción de significado.

2. Complejo integrales debe ser hecho en su forma general, es decir, con las sumas de Riemann sobre arbitraria (subsanables) de las curvas, no solo en $\mathcal{C}^1$ curvas (con la integral definida como $\int_a^b f(\gamma(t)) \gamma^\prime(t)\;\mathrm{d}t$).

3. Definiciones (como la integral anterior) debe enfatizar en los aspectos conceptuales de la noción, no el cómputo de lado. E. g. en el curso que tomó la liquidación número fue definido como este, no como este.

4. La integral de Cauchy teoremas deben ser presentados a través de homotopy/teorías de homología. (Como contraejemplo, la Stein/Shakarchi libro demuestra que sólo en los casos particulares de los contornos.)

5. Sería bueno tener breves introducciones a los temas que se derivan de la función compleja de la teoría - como la gavilla de la teoría, de las superficies de Riemann o la teoría analítica de números - pero creo que ya he reducido el espacio de respuesta demasiado.

¿Qué se puede recomendar?

Answer 1

Creo que John Conway Funciones de Una Variable Compleja es precisamente lo que usted desea. Por ejemplo, se define el complejo de integrales utilizando subsanables en curvas como usted quiere, también lo hace la homotopy versión de Cauchy teorema, se define la liquidación número que desea, e incluso tiene un capítulo sobre la continuación analítica y superficies de Riemann (con una discusión de las poleas de los gérmenes).

Ahora, tal vez no tienen mucho de la teoría analítica de números, pero tiene algunas secciones pertinentes sobre la factorización de la función Seno, y en la Gamma y Zeta funciones.

Finalmente, otro libro que vale la pena mirar es Lars Ahlfors' Análisis Complejo. Aunque yo personalmente prefiero Conway libro.