Demostrando un límite involucrados en el Lagrangiano de inversión de $\frac{\log\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}}$

Question

En mi intento de completar esta respuesta, me golpeó con un inconveniente en mostrar que

$$\lim_{t\to 0} \dfrac{\mathrm d^{k-1}}{\mathrm dt^{k-1}}\left(\frac{t\sqrt{1+t}}{\log\sqrt{1+t}}\right)^k=2(k+2)^{k-1}$$

Esto se muestra cuando se intenta aplicar de Lagrange de la inversión de la función de $\dfrac{\log\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}}$. Mi punto de fricción, es que yo soy incapaz de encontrar una expresión conveniente para los derivados. Hay una sencilla prueba de esto?

Answer 1

Análisis complejo viene al rescate. El uso de Cauchy diferenciación fórmula: $$ f^{n-1}(0) = \frac{(n-1)!}{2 \pi i} \cualquier \frac{f(z)}{z^n} \mathrm{d} z $$ Ahora $$ \begin{eqnarray} \lim_{t\to 0} \dfrac{\mathrm d^{k-1}}{\mathrm dt^{k-1}}\left(\frac{t\sqrt{1+t}}{\log\sqrt{1+t}}\right)^k &=& \frac{(k-1)!}{2 \pi i} \oint\left(\frac{t\sqrt{1+t}}{\log\sqrt{1+t}}\right)^k \frac{\mathrm{d} t}{t^k} \\ &=& \frac{(k-1)!}{2 \pi i} \oint \left(\frac{\sqrt{1+t}}{\log\sqrt{1+t}}\right)^k \mathrm{d} t \end{eqnarray} $$ Ahora realizando el cambio de variable $t = \mathrm{e}^u-1$: $$ \begin{eqnarray} \lim_{t\to 0} \dfrac{\mathrm d^{k-1}}{\mathrm dt^{k-1}}\left(\frac{t\sqrt{1+t}}{\log\sqrt{1+t}}\right)^k &=& \frac{(k-1)!}{2 \pi i} \oint \left( \frac{\exp(u/2)}{u/2} \right)^k \mathrm{e}^u \mathrm{d} u \\ &=& 2^k \left[ \frac{(k-1)!}{2 \pi i} \oint \frac{\exp( u(k/2+1)}{u^k} \mathrm{d} u \right] \\ &=& 2^k \lim_{u \to 0} \dfrac{\mathrm d^{k-1}}{\mathrm du^{k-1}} \mathrm{e}^{ u \left(\frac{k}{2}+1\right) } = 2^k \left(\frac{k}{2}+1\right)^{k-1} = 2 (k+2)^{k-1} \end{eqnarray} $$