Es este contorno continuamente deformable en un círculo?

Question

Como una pregunta de examen, había que resolver la integral de la $\frac{1}{z}$ sobre el siguiente perfil:

(El contorno es una secuencia de rectas, arcos de unirse a -1, -$\frac{i}{2}$, $\frac{1}{2}$, i, $-\frac{1}{2}$, -i, 1, $\frac{i}{2}$ y -1).

Supuse que por el momento que el contorno estaba continuamente deformable en un círculo con un radio de 1 alrededor del origen (por la Deformación del Teorema de la Invariancia) como todo el contorno fue de alrededor del origen. Sin embargo, está permitido hacer esta declaración, o es la única manera de calcular la suma de las integrales de cada una de las rectas, arcos?

Answer 1

Una curva que es contráctiles a la unidad de círculo necesariamente ha de bobinado de número de $1$, porque las curvas con diferentes liquidación números pueden no estar continuamente deformada en cada uno de los otros ("no homotópica", si quieres ser más sofisticado).

Por lo tanto, la respuesta es "No", ya que la curva tiene (como puede ser fácilmente demostrado) una bobina de número de $2$.

Es de esta multa, o necesitas algún consejo más?

Editar:

Tenemos sólo uno de los polos en el interior de nuestro contorno, por lo que podemos fácilmente evaluar la integral por el teorema de los Residuos: $$ I=2 \pi i \times \text{liquidación número}\times \text{Res}[z=0]=2 \pi i \times2\times1=4\pi i $$

Sin necesidad de los molestos cálculos con la originalmente parametrizadas contorno