Cómo demostrar que $e^x=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}$?

Question

Cómo demostrar que $e^x=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}$ usando el hecho de que $e^x=\lim_{n\to\infty }\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$ ?

Así, $$e^x=\lim_{n\to\infty }\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\left(\frac{x}{n}\right)^k=\lim_{n\to\infty }\sum_{k=0}^n\frac{n!}{(n-k)!n^k}\frac{x^k}{k!}.$$

Creo que tengo que demostrar que $\frac{n!}{(n-k)!n^k}=1$ pero no tuve éxito.

Answer 1

1. Solución el uso de $\,e^{\,x} = \dfrac{d}{dx}\,e^{\,x}\,$ propiedad del exponente

Suponga que el exponente de la función puede ser representada como una serie de desconocidos con los coeficientes: $$ e^{\,x} = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n $$

Recordar la propiedad fundamental de exponente $\, \dfrac{d}{dx} \big(e^{\,x} \big) = e^{\,x}$. La aplicación de esta propiedad a la serie de exponente, obtenemos \begin{align} \dfrac{d}{dx} \,e^{\,x} = e^{\,x} & \implies \dfrac{d}{dx} \left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \right) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \\ & \implies \dfrac{d}{dx} \big( a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \ldots\big) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \ldots \\ & \implies 0 + a_1 + 2 \, a_2\, x + 3 \, a_3\, x^2 + \ldots = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \ldots \\ & \implies \sum_{n=1}^{\infty}n \,a_n\,x^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \iff \sum_{n=0}^{\infty}\left(n+1\right) a_{n+1}\,x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \\ & \implies \left(n+1\right)a_{n+1} = a_n \\ & \implies a_{n+1} = \frac{a_n}{n+1} \end{align} La última ecuación puede escribirse como $\,a_{n} = \dfrac{1}{n}a_{n-1}, \,$, de modo que $$ a_{n} = \frac{1}{n}\,a_{n-1} = \frac{1}{n}\,\frac{1}{n-1} \,a_{n-2}= \frac{1}{n}\,\frac{1}{n-1}\,\frac{1}{n-2}\,a_{n-3} = \ldots = \frac{1}{ n!}\,a_0\etiqueta{1.1} $$ Observador que $\,e^0 = 1,\,$, de modo que podemos escribir $$ e^{\,x}\Big\rvert_{x=0} = \big( a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \ldots\big)\Big\rvert_{x=0} = a_0 = 1 $$ Este hecho, combinado con la ecuación de $(1.1)$ nos da la expresión explícita para el coeficiente $\,a_n = \dfrac{1}{n!}.\,$ Por lo tanto, que finalmente escribir $$ \bbox[4pt, borde:2.5 pt solid #FF0000]{\ \ e^{\,x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\ \,} $$ Q. E. D.

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EDIT: Como se pide en los comentarios, aquí les proporcionan la solución usando $\,\displaystyle e^{\,x}=\lim_{n\to\infty }\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\,$ expresión.

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2. Solución el uso de $\,\displaystyle e^{\,x}=\lim_{n\to\infty }\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\,$ propiedad del exponente

Yo no creo que es posible (al menos en un plazo razonable periodo de tiempo) expresar la exponentsas $\,e^{\,x}=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}\,$ utilizando sólo las operaciones algebraicas y la expresión de la fórmula de $\, e^{\,x}=\lim_{n\to\infty }\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\,$ como punto de partida. Sin embargo, es posible mostrar la equivalencia de estas dos definiciones de $\,e^{\,x}\,$ $\,n\to \infty.\,$

De hecho, para cualquier $x\ge 0$ definamos $$ S_n = \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}, \qquad L_n = \left(1+\frac{x}{n}\right)^n. $$ Entonces, mediante el binomio de Newton $$ \begin{aligned} L_n & = \sum_{k=0}^n {n\choose k} \,\frac{x^k}{n^k} = 1 + x + \sum_{k=2}^{n} \frac{n\cdot \left(n-1\right)\cdot \left(n-2\right)\cdot \ldots\cdot \left(n-(k-1)\right)}{k! \,n^k}= \\ & = 1 + x + \frac{x^2}{2!}\,\left(1 - \frac{1}{n} \right) + \frac{x^3}{3!}\,\left(1 - \frac{1}{n} \right) \left(1 - \frac{2}{n} \right) + \ldots + \frac{x^n}{n!}\,\left(1 - \frac{1}{n} \right) \cdots \left(1 - \frac{n-1}{n} \right) \leq S_n \end{aligned} $$ Por lo tanto $$ \limsup_{n\to\infty}L_n \leq \limsup_{n\to\infty}S_n = e^{\,x}.\la etiqueta{2.1} $$

Por otro lado, para cualquier entero positivo $\, m\,$ tal que $\,2\le m \le n\,$ hemos $$ 1 + x + \frac{x^2}{2!}\,\izquierda(1 - \frac{1}{n} \right) + \ldots + \frac{x^m}{m.}\,\izquierda(1 - \frac{1}{n} \right)\left(1 - \frac{2}{n} \right) \cdots \left(1 - \frac{m-1}{n} \right) \le L_n $$ Si fijamos $\,m\,$ y deje $\,n\to\infty,\,$ entonces tenemos $$ S_m = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \ldots + \frac{x^m}{m.} \leq \liminf_{n\to\infty}L_n\etiqueta{2.2} $$ Dejando $\,m\to\infty\,$ en la desigualdad de $(2.2)$ y la combinación con la desigualdad de $(2.1)$, obtenemos $$ e^{\,x} = \limsup_{n\to\infty}L_n\leq \lim_{n\to\infty} S_n \leq \liminf_{n\to\infty}L_n = e^{\,x} $$ y así $$ \bbox[5pt, borde:2.5 pt solid #FF0000]{\lim_{n\to \infty}S_n = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}=e^{\,x}} $$

Answer 2

Para completar su método, que es, sin asumir la derivada de $e^x$, sólo tienes que escribir el coeficiente de $\frac{x^k}{k!}$ $$\frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)(n-k)!}{(n-k)!n^k}$$ $$=(1)(1-\frac 1n)(1-\frac 2n)...(1-\frac{k-1}{n})\rightarrow1$$ as $n\rightarrow\infty$

Answer 3

Asumir que no sabemos nada acerca de la función exponencial y el comportamiento del límite de$(1+x/n)^n$$n\to\infty$. ¿Cómo podemos establecer la convergencia y su equivalencia a la potencia de la serie $f(x)$ dada por

$$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \ ? $$

Una idea puede ser la de ampliar usando el teorema del binomio y tomar el límite de termwise, pero tal necesidades de manipulación de algunos justificación desde el interchangng limitig operadores pueden no ser válida en algunos casos. (Si conoces el teorema de convergencia dominada, entonces usted puede utilizar de una manera sencilla. Pero esto es como cocinar un mosquito.) Así que aquí es una posible solución a este problema técnico:

Para ello, vamos a utilizar el teorema del binomio para ampliar

$$\left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\frac{x^k}{n^k} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k} \frac{x^k}{k!}. $$

La última igualdad se mantiene debido a $ n(n-1)\cdots(n-k+1) = 0$$k > n$. Ahora fix $N$, y para $n > N$ se descompone la diferencia como

$$ \left| \left(1+\frac{x}{n}\right)^n - f(x) \right| \leq \sum_{k=0}^{N} \left| \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k} - 1 \right| \frac{|x|^k}{k!} + 2 \sum_{k=N+1}^{\infty} \frac{|x|^k}{k!}. $$

Tomando limsup como $n \to \infty$, vemos que

$$ \limsup_{n\to\infty} \left| \left(1+\frac{x}{n}\right)^n - f(x) \right| \leq 2 \sum_{k=N+1}^{\infty} \frac{|x|^k}{k!}. \etiqueta{1} $$

Pero la izquierda no depende de $N,$ tener $N\to\infty$, nos encontramos con que el lado izquierdo de (1) es 0. Esto demuestra que

$$ \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{x}{n}\right)^n = f(x) $$

como se desee. ////

Answer 4

Mi primer pensamiento sería la lista de definición de propiedades de $f(x) = e ^{x}$ y demostrar que $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$ de las acciones de estas propiedades.

$$ f \left( 0 \right) = 1 \\ \frac{d}{dx} f = f $$

Si $\frac{d}{dx} y = y$,$y = Ce^x$. Si $y(0) = Ce^0$ = $1$, a continuación,$C = 1$. Por lo tanto, $e^x$ es la única función con estas propiedades.

Ahora es lo suficientemente simple para mostrar que $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$ tiene estas mismas características definitorias.