$f$ es una función entera tal que $f(0)=0$

Question

Dejemos que $f$ sea una función entera no constante que satisfaga las siguientes condiciones: $f(0)=0$ y para cada $N \gt 0$ el conjunto $\{z \mid \left| f(z)\right| < N\}$ está conectado.

Demostrar que $f(z)=cz^n$ para alguna constante $c$ y un número entero positivo $n$ .

$f(0)=0$ implica que hay $r>0$ tal que $f(z)\neq 0$ para cualquier $z\in \{z: 0<|z|\leq r\}$

Todo lo que puedo ver es $0$ es la única raíz de $f(z)$ . Supongamos que no, para pequeños $M$ , el conjunto $\{z: |f(z)|<M\}$ contiene conjuntos abiertos disjuntos, lo que contradice la conectividad del conjunto. Por lo tanto, sólo hay una raíz.

Así que, $0$ es la única raíz de $f(z)$ .

¿Podemos decir ahora que estamos obligados a tener $f(z)=cz^n$ para algunos $n$ ?

No pude ver más que esto por favor den algunas pistas.

Answer 1

Picard es una gran arma, quizá incluso un arma de destrucción matemática, para este problema. Sabemos que el único cero de $f$ es $0$ de la condición de conectividad. Así, $f(z) = z^ng(z)$ para algunos $n \in \mathbb N$ y algunos enteros $g$ que nunca desaparece.

También sabemos que hay $r>0$ tal que $\min_{|z|=r} |f| = m > 0.$ Entonces se deduce, de nuevo de la condición de conectividad, que $\{|f|<m/2\} \subset D(0,r).$ Así, $|f(z)| \ge m/2$ para $|z| \ge r.$

La unión de todo esto demuestra

$$\frac{1}{|f(z)|} = \frac{1}{|z|^n|g(z)|}\le \frac{2}{m}, \,\,|z|\ge r.$$

Ahora $1/g$ es entera, y lo anterior da $|1/g(z)| \le (2/m)|z|^n$ para $|z|\ge r.$ Así que $1/g$ es una función entera que no crece más rápido que un polinomio. Un resultado bien conocido implica entonces $1/g$ es un polinomio. Pero $1/g$ nunca desaparece. Los únicos polinomios que nunca desaparecen son las constantes no nulas. Esto da $f(z) = cz^n$ como se desee.

Answer 2

Este es un enfoque minimalista:

$f(0) = 0$ . Así que, a menos que $f$ es idénticamente cero, para cualquier lo suficientemente pequeño $r > 0$ , $|f|$ tiene un mínimo $m_r > 0$ en $|z| = r$ . Por lo tanto, como menciona zhw, por conectividad, $|f(z)| \ge m_r/2$ para $|z| \ge r$ .

Esto demuestra dos cosas a la vez:

a) $f(1/z)$ no puede tener una singularidad esencial en cero. Por lo tanto, utilizando las series de Laurent, se concluye que $f$ es un polinomio.

b) La única raíz de $f$ es cero.

Por lo tanto, $f = c z^n$ .

Answer 3

Empecemos asumiendo que $f(z)$ es un polinomio. Como sabemos que es una función entera, sabemos que al menos se puede escribir como una serie de potencias, así que empezaremos con esta simplificación.

Como es un polinomio, podemos factorizarlo sobre $\mathbb{C}$ como $f(z) = z(z - a_1) \cdots (z - a_k)$ para algunos $a_i \in \mathbb{C}$ . Supongamos sin pérdida de generalidad que $a_k \neq 0$ . A nivel local, alrededor de $a_k$ (y 0) la función se ve como $a(z- a_k)^{b_k}$ . En particular, podemos elegir $N > 0$ lo suficientemente pequeño como para que $|f|^{-1}([0, N])$ son (al menos) dos barrios disjuntos de $a_k$ y 0, respectivamente. Así que si es un polinomio, estás bien.

¿Y qué pasa si no es un polinomio? Pues que es una función entera. Dado que las funciones enteras alcanzan cada valor (excepto quizás uno) con infinita frecuencia, se deduce que hay infinitas $\lambda \in \mathbb{C}$ tal que $f(\lambda) = 0$ . Utilizando un argumento similar al del caso de los polinomios, se puede demostrar entonces que el conjunto está desconectado para $N > 0$ suficientemente pequeño.

Editar Como se señala en los comentarios, esta última parte no funciona del todo; por ejemplo, nuestra función podría ser $f(z) = z e^z$ que alcanza el valor 0 exactamente una vez. Sin embargo, una debe puede observar que en tal caso, debe alcanzar el valor $\varepsilon$ infinitamente a menudo, por lo que elegir $N > \varepsilon > 0$ uno debería ser capaz de hacer un argumento similar (ya que la función alcanza el valor $\varepsilon$ cerca de cero, y también infinitamente a menudo cerca de $\infty$ ).