La solución de la ecuación diferencial $f'(x)=af(x+b)$

Question

¿Cómo hace uno para encontrar todas las funciones diferenciables $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisfacen la ecuación $$ f'(x)=af(x+b),\quad \text{para}\quad a,b \in \mathbb{R}? $$ Veo que las funciones de la forma $\alpha e^{\beta x}$ $\alpha \sin(\beta x + \gamma)$ va a ser la solución, pero no estoy seguro de cómo exhaustivamente encontrar todas las soluciones.

Answer 1

Esta ecuación es un Retraso de la Ecuación Diferencial para $b<0$, y puede ser resuelto con especial tipo "datos iniciales" - lo que significa que, en lugar de buscar una solución en la satisfacción de una condición inicial de la forma $f(t_0)=x_0$, es decir, la prescripción de que el valor de la solución en un punto, tenemos la necesidad de prescribir la solución en todo un intervalo, en este caso un intervalo de longitud de $|b|$.

Por ejemplo: Si $f$ es conocido en el intervalo de $[-|b|,0]$, a continuación, utilizando la ecuación podemos obtener sus valores en el intervalo de $[0,|b|]$, el siguiente en la $[|b|,2|b|]$, y de forma recursiva en $[0,\infty)$.

Ejemplo sencillo: Supongamos que $b<0$, e $\beta=-b$. Deje $f\rvert_{[0,\beta]}=1$. Entonces \begin{align} f\rvert_{[\beta,2\beta]} &=a(x-\beta)+\beta, \\ f\rvert_{[2\beta,3\beta]} &=\frac{a^2}{2!}(x-2\beta)^2+a\beta (x-2\beta)+a\beta+\beta, \\ f\rvert_{[3\beta,4\beta]} &=\frac{a^2}{3!}(x-3\beta)^3+\frac{a^2\beta}{2} (x-3\beta)^2+(a\beta+\beta)(x-3\beta)+\frac{a^2b^2}{2}+a\beta^2++a\beta+\beta, \end{align} y, en general, una vez $f$ es conocido en $[(k-1)\beta,k\beta]$, luego $$ f(x)=\int_{k\beta}^x f(s-\beta)\,ds \,\,\,\,\,\texto{para todos los $\,\,\,x\in[k\beta,(k+1)\beta]$.} $$

Si $b>0$, podemos hacer lo mismo pero al revés.

Answer 2

Trate de trabajar con la transformada de Fourier. La transformada de Fourier de la traducción de su función como $f(x+b)$ es la función de transformación multiplicado por una unidad de la magnitud de la fase factor, algo como $\exp(-i b k)$, mientras que el derivado $f'$ se describe en la transformada de Fourier mundo como la multiplicación por k. Me imagino que un poco de trastear con que se suba de soluciones útiles.