Comentarios sobre el progreso parcial.
Desgraciadamente, este es un caso de algo que a veces ocurre con los estudiantes: se dio una condición fuerte (Artiniano semisimple) y luego se decidió bajar rápidamente a algo más débil (Artiniano/Noetheriano) posiblemente porque se siente más cómodo con esa condición.
Es posible demostrar que si G es infinito entonces R[G] no puede ser Artiniano, pero como he aludido en los comentarios no es tan fácil como para que sea un problema de deberes.
Si se empieza por asumir G es infinito y luego tratar de demostrar que R[G] no es noetheriano, lamentablemente estás condenado al fracaso, porque (creo recordar correctamente) hay ejemplos de grupos infinitos G tal que R[G] es noetheriano.
Esto pone de manifiesto algunos de los peligros de "simplificar" los datos demasiado rápido. Podemos demostrarlo de la siguiente manera aprovechando la supuesta semisimplicidad de R[G] . En concreto, utilizaremos el hecho de que los ideales son sumandos.
Pistas:
- Dejemos que A sea el ideal de aumento de R[G] . Es decir, es el núcleo de la proyección R[G]→R que envía g↦1 para todos g∈G . Demostrar que 1−g∈A para todos g∈G .
- Supongamos que R[G] es semisimple. Entonces A es un sumando de R[G] y en particular podemos encontrar un idempotente e∈R tal que R[G]e=A y R[G]e⊕R[G]f=R[G] donde f=1−e es otro idempotente. Demostrar que (1−g)f=0 por cada g∈G utilizando el punto anterior. En consecuencia, f=gf para todos g∈G .
- f tiene que ser distinto de cero, ya que el ideal de aumento es propio. Sea h∈G sea un término de f que tiene un coeficiente distinto de cero. Demuestre utilizando el punto anterior que gh aparece con un coeficiente no nulo en la expresión de f .
- Dado que cada elemento de G puede expresarse como gh para algunos g Esto significa que todos los elementos de G tienen coeficientes no nulos en la expresión de f ... pero no es posible que f para tener infinitos términos no nulos. Así, G no es infinito.
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Su intento parece utilizar sólo las propiedades de finitud (artinianas o noeterianas) de R(G) . Esto me hace pensar que no estás en el camino correcto.
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En realidad no sé qué debo hacer, ¿cuál es su idea?
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Sí, creo que la sensación del usuario es correcta. "R[G] artiniano implica G finito" es una prueba no trivial que aparece en el libro de álgebra de Lambek y en la tesis de Connell.
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¿Intentas demostrar que es "semisimple" en el sentido de que el radical de Jacobson es cero, o semisimple en el sentido de que es una suma directa de anillos simples?
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@ Jason Polak ,debo demostrar que no es semisimple,por lo que supongo que lo es,y quería demostrar que llega a una contradicción.
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@ rschwieb, gracias por la referencia, lo comprobaré.
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El libro de álgebra de Lambek, ¿te refieres a Lectures on Rings and Modules de Lambek?
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@rschwieb, lo tengo, gracias, borrando.