Si $G$ es un grupo infinito, entonces el anillo de grupo $R(G)$ no es semisimple.

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo y $G$ un grupo infinito. Demostrar que $R(G)$ (anillo de grupo) no es semisimple.

Mi idea era suponer que es semisimple, entonces $R(G)$ es artiniano de izquierdas y $J(R(G))=0$ . Intentaba hacer una cadena ascendente de ideales que no se detuviera, entonces no es noeteriana de izquierdas, por el teorema de Hopkins no es artiniana de izquierdas, una contradicción. También intenté hacer una cadena descendente que no se detuviera, por lo que no es artiniana de izquierdas, pero no tuve éxito. Así que por favor ayúdame.

Answer 1

Comentarios sobre el progreso parcial.

Desgraciadamente, este es un caso de algo que a veces ocurre con los estudiantes: se dio una condición fuerte (Artiniano semisimple) y luego se decidió bajar rápidamente a algo más débil (Artiniano/Noetheriano) posiblemente porque se siente más cómodo con esa condición.

Es posible demostrar que si $G$ es infinito entonces $R[G]$ no puede ser Artiniano, pero como he aludido en los comentarios no es tan fácil como para que sea un problema de deberes.

Si se empieza por asumir $G$ es infinito y luego tratar de demostrar que $R[G]$ no es noetheriano, lamentablemente estás condenado al fracaso, porque (creo recordar correctamente) hay ejemplos de grupos infinitos $G$ tal que $R[G]$ es noetheriano.

Esto pone de manifiesto algunos de los peligros de "simplificar" los datos demasiado rápido. Podemos demostrarlo de la siguiente manera aprovechando la supuesta semisimplicidad de $R[G]$ . En concreto, utilizaremos el hecho de que los ideales son sumandos.

Pistas:

1. Dejemos que $A$ sea el ideal de aumento de $R[G]$ . Es decir, es el núcleo de la proyección $R[G]\to R$ que envía $g\mapsto 1$ para todos $g\in G$ . Demostrar que $1-g\in A$ para todos $g\in G$ .
2. Supongamos que $R[G]$ es semisimple. Entonces $A$ es un sumando de $R[G]$ y en particular podemos encontrar un idempotente $e\in R$ tal que $R[G]e=A$ y $R[G]e\oplus R[G]f=R[G]$ donde $f=1-e$ es otro idempotente. Demostrar que $(1-g)f=0$ por cada $g\in G$ utilizando el punto anterior. En consecuencia, $f=gf$ para todos $g\in G$ .
3. $f$ tiene que ser distinto de cero, ya que el ideal de aumento es propio. Sea $h\in G$ sea un término de $f$ que tiene un coeficiente distinto de cero. Demuestre utilizando el punto anterior que $gh$ aparece con un coeficiente no nulo en la expresión de $f$ .
4. Dado que cada elemento de $G$ puede expresarse como $gh$ para algunos $g$ Esto significa que todos los elementos de $G$ tienen coeficientes no nulos en la expresión de $f$ ... pero no es posible que $f$ para tener infinitos términos no nulos. Así, $G$ no es infinito.