Encontrar el límite de $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sin\sqrt{x}}$

Question

¿Cómo podría uno encontrar el límite de

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sin\sqrt{x}}$

Sé que tengo que utilizar la regla de L'Hospital de.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{2}x^{-1/2}}{\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x}}\cos\sqrt{x}}$

Pero me encuentro atascado

Answer 1

$$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sin\sqrt{x}}=\lim_{x\to0}\frac1{1+\frac{\sin\sqrt x}{\sqrt x}}=\lim_{h\to0}\frac1{1+\frac{\sin h}h}$$ Putting $\sqrt x=h\implica x=h^2$

Answer 2

Continuar desde donde lo dejó:

Simplemente cancelar el factor común de $\frac {1}{2 \sqrt x}$ desde el numerador y el denominador:

$$\frac{\frac{1}{2\sqrt x}}{\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x}}\cos\sqrt{x}} = \dfrac 1{1 + \cos \sqrt x}$$ Now evaluate the limit as $x \to 0$. You should arrive at a limit of $\dfrac 12$.

Answer 3

Sugerencia: tomar recíproca de los rendimientos $$\frac{\sin(\sqrt{x}) }{\sqrt{x}}+1.$$

Answer 4

$$\begin{align} \lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt x}{\sqrt x+\sin\sqrt x}&=\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{1+\dfrac{\sin\sqrt x}{\sqrt x}},\quad\sqrt x=t\to x=t^2\\ &=\lim_{x\to0}\dfrac{1}{1+\dfrac{\sin t}{t}},\quad\sin t\sim t\\ &=\lim_{x\to0}\dfrac{1}{1+\dfrac{t}{t}}=\dfrac{1}{2} \end{align}$$

Answer 5

Si usted sabe que la serie de Taylor para el seno en x=0, creo que usted incluso no tiene que usar la regla de L'Hospital de.