La sub-anillo de $\mathbb{C}[x,y]$ que consta de todos los polinomios $f(x,y)$ cuyo gradiente se desvanece en el punto de $x=y=0$. Es este anillo Noetherian?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Sí, su anillo es noetherian porque es la imagen de la noetherian anillo de $ \mathbb C[r,s,t,u,v,w,z]$ bajo $\mathbb C$-álgebra de morfismos
$f:\mathbb C[r,s,t,u,v,w,z]\to \mathbb C[x,y]$ definido por
$$ f(r)=x^2, f(s)=x^3, f(t)=y^2, f(u)=y^3, f(v)=xy,f(w)=x^2y, f(z)=xy^2 $$
Advertencia La misma técnica muestra que muchos de los $\mathbb C$-subalgebras de $\mathbb C[x,y]$ son noetherian .
Tenga cuidado, sin embargo, que existen no noetherian subalgebras de $\mathbb C[x,y]$.
Por ejemplo, $\mathbb C[y,xy,x^2y,x^3y,...]$ no es noetherian desde su ideal $(y,xy,x^2y,x^3y,...)$ no es finitely generado.
Neall
Puntos
261
Creo que la respuesta es sí. La siguiente prueba es muy similar a la de Hilbert teorema de la base.
Lema: $S = \{f(x) \in \mathbb{C}[x] : f'(0) = 0 \}$ es Noetherian.
La prueba del Lema: Deje $J \subset S$ ser un ideal, y deje $g_1(x)$ ser un polinomio de grado mínimo en $J$, de grado $n$. A continuación, mediante el algoritmo de la división, para cualquier $h(x) \in J$, puede ser escrita como una suma de $h_1(x) + h_2(x)$ donde $h_1 \in S g_1(x)$, e $h_2(x)$ tiene un grado en la mayoría de las $n+1$. Deje $g_2(x)$ ser un polinomio de grado $n+1$$J$, si existe. A continuación, $h_2$ debe ser un $\mathbb{C}$-combinación lineal de $g_1$ $g_2$ por otra parte tenemos un polinomio de grado menor que $n$$J$. Por lo tanto $J = (g_1,g_2)$.
La prueba de la pregunta original
Llame a su anillo de $R$. Deje $I \subset R$ ser un ideal distinto de cero. Escribir cada elemento en $I$ como un polinomio en $y$, con un coeficiente de un polinomio en $x$.
Observe que el líder de los coeficientes de forma de un ideal de a $\mathbb{C}[x]$, que es lo principal, dicen generado por $f(x)$. Supongamos que $g(x,y) \in I$ ha líder coeficiente de $f(x)$, e $g$ $y$grado $n$. A continuación, mediante el algoritmo de la división, es claro que cualquier $h(x,y) \in I$ es igual a la suma de $h_1(x,y) + h_2(x,y)$ donde $h_1 \in R g(x,y)$ $h_2(x,y)$ $y$- grado en la mayoría de las $n+1$.
Considerar los elementos $T$ $I$ $y$- grado en la mayoría de las $n+1$. Tenga en cuenta que $T$ $S$- módulo. De hecho, es un finito $S$-módulo, generados por $y^{n+1}, xy^n, y^n, \cdots, 1$. Así que es un noetherian $S$-módulo, lo que significa que hay un número finito de generadores $p_1,\cdots,p_k$$T$$S$. Pero $S \subset R$, por lo que es claro que $I$ es generado por $g, p_1, \cdots, p_k$.
