Estoy tratando de demostrar que el momento central de una distribución simétrica: $${\bf f}_x{\bf (a+x)} = {\bf f}_x{\bf(a-x)}$$ es cero para números impares. Por lo tanto, el tercer momento central sería: $${\bf E[(X-u)^3] = 0}.$$ Comencé intentando demostrar que $${\bf E[(X-u)^3] = E[X^3] -3uE[X^2] + 3u^2E[X] - u^3}.$$ No estoy seguro de cómo continuar a partir de aquí, ¿alguna sugerencia? ¿Existe una mejor manera de demostrar esto?
Respuesta
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jldugger
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Esta respuesta tiene como objetivo hacer una demostración lo más elemental posible, porque es frecuente que las cosas lleguen a la idea esencial. Los únicos hechos necesarios (más allá de la manipulación algebraica más simple) son la linealidad de la integración (o, de manera equivalente, de la esperanza), la fórmula de cambio de variables para integrales, y el resultado axiomático de que una Función de Densidad de Probabilidad se integra a la unidad.
La motivación de esta demostración es la intuición de que cuando $f_X$ es simétrica alrededor de $a$, entonces la contribución de cualquier cantidad $G(x)$ a la esperanza $\mathbb{E}_X(G(X))$ tendrá el mismo peso que la cantidad $G(2a-x)$, porque $x$ y $2a-x$ están en lados opuestos de $a$ y igualmente lejos de él. Siempre que $G(x) = -G(2a-x)$ para todo $x$, todo se cancela y la esperanza debe ser cero. La relación entre $x$ y $2a-x, entonces, es nuestro punto de partida.
Observando, al escribir $y = x + a$, que la simetría se puede expresar de la misma forma mediante la relación
$$f_X(y) = f_X(2a-y)$$
para todo $y$. Para cualquier función medible $G$, el cambio de variable uno a uno de $x$ a $2a-x$ cambia $dx$ a $-dx$, invirtiendo la dirección de la integración, lo que implica
$$\mathbb{E}_X(G(X)) = \int G(x) f_X(x)dx = \int G(x) f_X(2a - x)dx = \int G(2a-x)f_X(x)dx.$$
Suponiendo que esta esperanza existe (es decir, la integral converge), la linealidad de la integral implica
$$\int \left(G(x) - G(2a - x)\right)f_X(x)dx = 0.$$
Considerando los momentos impares alrededor de $a$, los cuales se definen como las esperanzas de $G_{k,a}(X) = (X-a)^k$, $k = 1, 3, 5, \ldots$. En estos casos
$$\eqalign{ G_{k,a}(x) - G_{k,a}(2a-x) &= (x-a)^k - (2a-x-a)^k \\&= (x-a)^k - (a-x)^k \\ &= (1^k - (-1)^k)(x-a)^k \\&= 2(x-a)^k,}$$
precisamente porque $k$ es impar. Aplicando el resultado anterior se tiene que
$$0 = \int \left(G_{k,a}(x) - G_{k,a}(2a - x)\right)f_X(x)dx = 2\int (x-a)^k f_X(x)dx.$$
Como el lado derecho es el doble del $k$-ésimo momento sobre $a$, dividiendo por $2$ se muestra que este momento es cero cuando existe.
Finalmente, la media (asumiendo que existe) es
$$\mu_X = \mathbb{E}_X(X) = \int x f_X(x)dx = \int (2a-x)f_X(x)dx.$$
Nuevamente aprovechando la linealidad, y recordando que $\int f_X(x)dx=1$ porque $f_X$ es una distribución de probabilidad, podemos reorganizar la última igualdad para leer
$$2\mu_X = 2\int x f_X(x)dx = 2a\int f_X(x)dx = 2a\times 1 = 2a$$
con la solución única $\mu_X = a$. Por lo tanto, todos nuestros cálculos anteriores de momentos sobre $a$ son realmente momentos centrales, QED.
Posdata
La necesidad de dividir por $2$ en varios lugares está relacionada con el hecho de que hay un grupo de orden $2$ actuando en las funciones medibles (a saber, el grupo generado por la reflexión en la línea alrededor de $a$). Más generalmente, la idea de una simetría se puede generalizar a la acción de cualquier grupo. La teoría de representaciones de grupos implica que cuando el carácter de esa acción en una función no es trivial, es ortogonal al carácter trivial, lo que significa que la esperanza de la función debe ser cero. Las relaciones de ortogonalidad implican sumar (o integrar) sobre el grupo, por lo que el tamaño del grupo aparece constantemente en los denominadores: su cardinalidad cuando es finito o su volumen cuando es compacto.
La belleza de esta generalización se hace evidente en aplicaciones con simetría manifiesta, como en las ecuaciones de movimiento mecánico (o mecánica cuántica) de sistemas simétricos ejemplificados por una molécula de benceno (que tiene un grupo de simetría de 12 elementos). (La aplicación de Mecánica Cuántica es más relevante aquí porque calcula explícitamente las esperanzas). Los valores de interés físico--que típicamente involucran integrales multidimensionales de tensores--pueden ser calculados con no más trabajo del que se realizó aquí, simplemente conociendo los caracteres asociados con las integrandas. Por ejemplo, los "colores" de varias moléculas simétricas--sus espectros a varias longitudes de onda--se pueden determinar ab initio con este enfoque.
