Debido al cierre bajo otra parte, es obvio que un finito suma de racionales es racional. El infinito, sin embargo (asumiendo que no divergen), puede permanecer racional, como $\sum_{n \in \mathbb{N}} 2^{-n}$, o no, como la $\sum_{n \in \mathbb{N}} n^{-2}$.
Hay un criterio para saber si un (convergente) y la serie de racionales es racional o irracional, sin calcularlo?
P. S.: reflexiones sobre el análogo pregunta con infinidad de productos de bienvenida.
De hecho se puede reducir a un muy general de la clase de problemas a la cuestión de determinar si una determinada serie de números racionales converge a un número racional o no. Deje $A$ ser un subconjunto de los números naturales (por ejemplo, el conjunto de dos números primos). A continuación, $A$ es infinito si y sólo si
$$\sum_{a \in A} 2^{-a^2}$$
es irracional, ya que si $A$ es infinito, el base-$2$ expansión el número de arriba no puede ser eventualmente periódico. Muchas, muchas arbitrariamente los problemas difíciles puede ser codificado como el problema de determinar si un conjunto de números naturales es infinita; por ejemplo, es indecidible si el conjunto de números naturales de una máquina de Turing se reconoce es infinita por el Arroz del teorema.
En otras palabras, lo que a menudo no viene a través de un curso de cálculo es que la única serie que he visto nunca, resumió son propensos a ser mucho más simple que la de un "genérico" de la serie, que puede ser arbitrariamente complicado. Entonces uno tiene que poner fuertes restricciones sobre qué tipo de series son considerados para tener alguna esperanza de decir algo general.
Tal y como figura en los comentarios, no existe una solución general a este problema. Un ejemplo sencillo es el de la serie de $$\zeta(5)=\sum_{n=1}^\infty n^{-5}$$, que aún no ha sido demostrado ser racional o irracional.
Sin embargo, a veces podemos decir que una serie en particular debe ser trascendental si se puede "muy bien aproximada" por los números racionales.
La irracionalidad de la Medida: Para un número real $x$, considere la posibilidad de $$E(x)=\left\{ \alpha\in\mathbb{R}:\ \text{there exists infinitely many }q\ \text{with}\ \biggr|x-\frac{p}{q}\biggr|<\frac{1}{q^{\alpha}}\right\}.$$ Let $\mu(x)=\sup\left(E(x)\right).$ If $x$ is rational, then $\mu(x)=1$, and if $x$ is a quadratic irrational, then by using some theorems in continued fractions we know that $\mu(x)=2$. The Thue-Siegel-Roth Theorem tells us more generally that if x is algebraic, and not rational, then $\mu(x)=2$. Unfortunately this does not give a complete characterization since $e$ is transcendental, and $\mu(e)=2$.
La serie que son trascendentales: Considere la siguiente serie donde $q,a$ son enteros: $$\alpha_{q}(a)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{q^{a^{n}}}.$$Then if $un\geq3$ we know that this must be transcendental. If $=2$, this test will not tell us, since then $\mu(\alpha_q(a))=2$. But this does mean that when $un=2$, the series is irrational. We can apply these ideas to certain series which have terms decreasing fast enough. Another example is $$c=\sum_{n=1}^{\infty}10^{-n!}.$$ This is called Liouvilles constant, and was one of the first examples of a transcendental number. Since $\mu(c)=\infty$, it follows that $c$ es trascendental.
Espero que ayude,
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
