Medico adjunto del operador de la derivada en el polinomio de espacio

Question

Yo estaba trabajando en un problema cuando hice el siguiente razonamiento.

Sé que cada operador lineal $T:V \longrightarrow V$ sobre un espacio de Hilbert $(V,\langle.,.\rangle)$ tal que $\dim(V)<\infty$ tiene uno (único) adjunto operador $T^*:V \longrightarrow V$ (que es, $\langle T u,v\rangle = \langle u, T^* v \rangle$ $\forall u,v \in V$).

Así que si $V:=P_n$ es el espacio de todos los polinomios con grado menor o igual a $n \in \mathbb{N}$ (lo que le da $\dim(V)=n+1<\infty$) y $\langle f,g \rangle := \int_0^1f(t)g(t) \, dt$, ¿cuál es el adjunto del operador de la derivada de $T=\dfrac{d}{dt}$?

He tratado de resolver, pero todavía sin éxito. Me pregunto si es una pregunta tonta, pero no he tenido éxito en la búsqueda de la respuesta, así que me disculpo de antemano si ese es el caso.

Answer 1

En este negocio, para encontrar el (formal) adjunto de un operador diferencial, integrar por partes. Si $T = \frac{d}{dt}$, luego

\begin{align*} \langle Tf, g\rangle &= \int_0^1 f'(t)g(t)dt \\ &= f(t)g(t)\bigg|_0^1 - \int_0^1 f(t)g'(t)dt \\ &= f(t)g(t)\bigg|_0^1 - \langle f,Tg\rangle \\ &= \bigg( f(1)g(1) - f(0)g(0)\bigg) - \langle f,Tg\rangle \end{align*}

Esto es más fácil si se restringen al espacio de los polinomios que tienen $f(0) = f(1)$ (a menudo, ambos cero) y, a continuación, $T^* = -T$. De lo contrario, como Daniel Fischer señala, que necesita un operador $B$ ha $\langle f, Bg \rangle = f(1)g(1) - f(0)g(0).$

Answer 2

Vamos a probar esto al $n=2$: Una base ortonormales emerge de las bacterias Gram--Schmidt proceso: $$ f_0=1,\qquad f_1=2\sqrt{3}\left(x-\frac12\right) \qquad f_2=6\sqrt{5}\left(x^2 - x + \frac16\right) $$ Ahora observe que el$f_2'=6\sqrt{5}(2)\left(x-\frac12\right) = 2\sqrt{15}f_1$$f_1'= 2\sqrt{3} f_0$$f_0'=0$, por lo que la matriz es $$ \begin{bmatrix} 0 & 2\sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & 2\sqrt{15} \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}. $$

La matriz de los adjuntos que debe ser la transposición de esta: $$ \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 2\sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & 2\sqrt{15} & 0 \end{bmatrix}. $$ Por lo $f_0 \mapsto 2\sqrt{3}\,f_1$$f_1\mapsto 2\sqrt{15}\, f_2$$f_2\mapsto 0$.