Hipergeométrica fórmulas para el Rogers-Ramanujan identidades?

Question

Deje $q = e^{2\pi i \tau}$. Dada la j-función,

$$j = j(q) = 1/q + 744 + 196884q + 21493760q^2 + \dots$$

y definir,

$$k = j-1728$$

Deje $\tau =\sqrt{-N}$ donde $N > 1$. Alguien sabe cómo demostrar a la RHS de estos conjetura de las relaciones?:

$$\begin{align}q^{-1/60} G(q) = q^{-1/60} \prod_{n=1}^\infty \frac{1}{(1-q^{5n-1})(1-q^{5n-4})} &= j\,^{1/60}\,_2F_1\left(\tfrac{19}{60},\tfrac{-1}{60},\tfrac{4}{5},\tfrac{1728}{j}\right)\\ &= k\,^{1/60}\,_2F_1\left(\tfrac{29}{60},\tfrac{-1}{60},\tfrac{4}{5},\tfrac{-1728}{k}\right)\\[2.5mm] q^{11/60} H(q) = q^{11/60} \prod_{n=1}^\infty \frac{1}{(1-q^{5n-2})(1-q^{5n-3})} &= j\,^{-11/60}\,_2F_1\left(\tfrac{31}{60},\tfrac{11}{60},\tfrac{6}{5},\tfrac{1728}{j}\right)\\ &= k\,^{-11/60}\,_2F_1\left(\tfrac{41}{60},\tfrac{11}{60},\tfrac{6}{5},\tfrac{-1728}{k}\right)\end{align}$$

Answer 1

Vamos $$\begin{align} g(\tau) &= q^{-1/60} G(q) \\ h(\tau) &= q^{11/60} H(q) \end{align}$$

Primero de todos, la igualdad entre los hipergeométrica $j$ $k$ expresiones seguir a partir de la transformación euleriano $${}_2F_1(a,b;c;z) = (1-z)^{-b}\,{}_2F_1\left(c-a,b;c;\frac{z}{z-1}\right)$$ Por lo tanto, es suficiente para demostrar la identidad entre el $g$ resp. $h$ y la correspondiente hipergeométrica $j$ expresiones. Voy a traducir aquellos más familiarizados identidades.

Vamos a utilizar el Rogers-Ramanujan continuó fracción (RRCF), $$\rho(\tau) = \frac{h(\tau)}{g(\tau)} = q^{1/5}\frac{H(q)}{G(q)}$$ Fórmula $(22)$ desde el anterior MathWorld entrada en RRCF esencialmente a los estados que $$\frac{1}{\rho^{5}} - 11 - \rho^5 = \frac{1}{g^6\,h^6}$$ (El uso de la representación de los productos de $g$ $h$ a identificar el lado derecho). A partir de esto, podemos deducir fácilmente $$\begin{align} g &= \frac{1} {\left(\rho - 11\,\rho^6 - \rho^{11}\right)^{1/12}} \\ h &= \frac{\rho} {\left(\rho - 11\,\rho^6 - \rho^{11}\right)^{1/12}} \end{align}$$ suponiendo que los argumentos de los radicales son pequeñas positivos reales, que deben seguir a partir de las restricciones que han puesto en $\tau$.

Además, la fórmula de $(46)$ desde el anterior Mathworld entrada en RRCF da la relación de $\rho$ con Klein $j$: $$j = \frac {\left(1+228\,\rho^5+494\,\rho^{10}-228\,\rho^{15}+\rho^{20}\right)^3} {\left(\rho - 11\,\rho^6 - \rho^{11}\right)^5}$$ lo que nos permite escribir $$\begin{align} g\,j^{-1/60} &= \left(1+228\,\rho^5+494\,\rho^{10}-228\,\rho^{15}+\rho^{20}\right)^{-1/20} \\ h\,j^{11/60} &= \frac {\left(1+228\,\rho^5+494\,\rho^{10}-228\,\rho^{15}+\rho^{20}\right)^{11/20}} {1 - 11\,\rho^5 - \rho^{10}} \end{align}$$ suponiendo que los argumentos de los radicales son pequeñas positivos reales.

Necesito un deus ex machina ahora, y Raimundas Vidūnas arXiv:0807.4808v1 viene al rescate. Sus fórmulas $(59)$ $(61)$ en la sección 6.3 ("icosaédrica hipergeométrica ecuaciones", pág. 20) estado precisamente $$\begin{align} {}_2F_1\left(\tfrac{19}{60},-\tfrac{1}{60};\tfrac{4}{5};\varphi_1(x)\right) &= \left(1-228\,x+494\,x^2+228\,x^3+x^4\right)^{-1/20} \\{}_2F_1\left(\tfrac{31}{60},\tfrac{11}{60};\tfrac{6}{5};\varphi_1(x)\right) &= \frac{\left(1-228\,x+494\,x^2+228\,x^3+x^4\right)^{11/20}} {1 + 11\,x - x^2} \\\text{where}\qquad \varphi_1(x) &= \frac{-1728\,x\,(1+11\,x-x^2)^5} {\left(1-228\,x+494\,x^2+228\,x^3+x^4\right)^3} \end{align}$$ Y tu conjetura sigue a partir de la configuración de $x=-\rho^5$, lo que implica $\varphi_1(x) = \frac{1728}{j}$.

Resumiendo, no es una expresión algebraica de la relación entre el $j$ $g$ resp. $h$, y la hipergeométrica ${}_2F_1$ expresiones están diseñados para resolver los relaciones algebraicas para $g\,j^{-1/60}$ resp. $h\,j^{11/60}$, determinado $j$.