$\{f_n\}$ es uniformemente integrable si y sólo si $\sup_n \int |f_n|\,d\mu < \infty$ $\{f_n\}$ es uniforme y absolutamente continua?

Question

Deje $(X, \mathcal{A}, \mu)$ ser una medida en el espacio. Una familia de funciones medibles $\{f_n\}$ es uniformemente integrable si se les da $\epsilon$ existe $M$ tal que$$\int_{\{x : |f_n(x)| > M\}} |f_n(x)|\,d\mu < \epsilon$$for each $n$. The sequence is uniformly absolutely continuous if given $\epsilon$ there exists $\delta$ such that$$\left|\int_A f_n\,d\mu\right| < \epsilon$$for each $n$ if $\mu(A) < \delta$.

Supongamos $\mu$ es una medida finita. ¿Cómo puedo ver que $\{f_n\}$ es uniformemente integrable si y sólo si $\sup_n \int |f_n|\,d\mu < \infty$ $\{f_n\}$ es uniforme y absolutamente continua?

Answer 1

Suponga que $\{f_n\}$ es uniforme y absolutamente integrable. Deje $\varepsilon > 0$. Ahora \begin{align} \int_X |f_n| = \int_{X \cap \{f_n \geq M_\varepsilon\}} |f_n| + \int_{X \cap \{f_n < M_\varepsilon\}} |f_n| \leq \varepsilon + M_\varepsilon \mu(X) \end{align} para todos los $n$. Así, el supremum $n$ es finito.

Para obtener uniforme continuidad absoluta, aviso que \begin{align} \left| \int_A f_n \right| & \leq \int_{A \cap \{f_n \geq M_\varepsilon\}} |f_n| + \int_{A \cap \{f_n < M_\varepsilon\}} |f_n| \\ & \leq \varepsilon + M_\varepsilon \mu(A) \end{align} para todos los $n$. Ahora elija $\delta < \varepsilon/M_\varepsilon$.

Ahora suponga $\sup_n \|f_n\|_1 < \infty$ y el uniforme de abs. continuidad. Deje $\varepsilon > 0$ y deje $\delta > 0$ ser tal que $\mu(A) < \delta$ implica $ |\int_A f_n| < \varepsilon$ todos los $n$. Desde $\int|f_n| < \infty$, tenemos \begin{align} \lim_{M \to \infty} \mu \{ |f_n| > M \} = 0\,. \end{align} Por lo tanto podemos optar $M_n$ tan grande que $\mu\{ |f_n| > M_n \} < \delta$. Ahora \begin{align} \int_{|f_n| > M_n } |f_n| &= \int_{f_n > M_n} f_n + \int_{f_n < -M_n} (-f_n) \\ &= \left| \int_{f_n > M_n} f_n \right| + \left| \int_{f_n < -M_n} f_n \right| \\ &< \varepsilon + \varepsilon \end{align} para todos los $n$ desde los conjuntos sobre los que integramos han medir menos de $\delta$

Answer 2

Aquí os muestro la dirección de avance. Una vez que veo el sentido inverso, voy a editar.

Dado $\varepsilon>0$, elija $M>0$, de modo que $$ \int_{\{x : |f_n(x)| > M\}} |f_n(x)|\,d\mu < \epsilon $$ para todos los $n$. Entonces tenemos $$ \int|f_n|\ d\mu=\int_{\{|f_n|\leq M\}}|f_n|\ d\mu+ \int_{\{|f_n|> M\}}|f_n|\ d\mu\leq M\mu(X)+\varepsilon<\infty.$$ Desde $n$ fue arbitrario, tenemos $$\sup_n\int|f_n|\ d\mu<\infty. $$ Ahora coger $\delta>0$, de modo que $\delta<\varepsilon/M$. A continuación, para medibles $A$$\mu(A)<\delta$, tenemos \begin{align*} \left|\int_A f_n\ d\mu\right|&\leq \left|\int_{A\cap\{|f_n|\leq M\}} f_n\ d\mu\right| +\left|\int_{A\cap\{|f_n|> M\}} f_n\ d\mu\right| \\ &\leq \int_{A\cap\{|f_n|\leq M\}} |f_n|\ d\mu + \int_{A\cap\{|f_n|> M\}} |f_n|\ d\mu \\ &<M\delta +\varepsilon <2\varepsilon. \end{align*} Por reescalado, vemos que $\{f_n\}$ es uniforme y absolutamente continuas.