$\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$ $\mathbb{Q}$ espacios vectoriales

Question

Q: Si consideramos la $\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$ $\mathbb{Q}$- espacios vectoriales, entonces ¿cómo podemos mostrar que son isomorfos?

Sé que si dos espacios vectoriales tienen bases con la misma cardinalidad, entonces ellos son isomorfos. También, el lema de Zorn nos dice que todo espacio vectorial tiene una base.

En este caso, respondiendo a mi pregunta equivale a mostrar que ninguna de las bases de $\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$ $\mathbb{Q}$ tienen la misma cardinalidad. En otras palabras, necesito mostrar dim$ \mathbb{R} =$ dim $\mathbb{C}$$\mathbb{Q}$, es decir, que tienen bases con la misma cardinalidad. Alguien puede ayudar?

Gracias!!

Answer 1

Si $k$ es un campo y $V$ es un infinito dimensional $k$-espacio vectorial, entonces $V\cong V\oplus V$. El uso de este, lo que se quiere mostrar de la siguiente manera por el hecho de que como $\mathbb Q$-espacios vectoriales, $\mathbb C\cong \mathbb R\oplus \mathbb R$.

Se puede ver cómo probar esas dos afirmaciones?

---

Más tarde. Ok, al parecer no. Vamos a hacer.

(1) Si $B$ es una base para $V$, entonces el conjunto $$B'=\{(b,0):b\in B\}\cup \{(0,b):b\in B\}$$ is a basis for $V\oplus V$. There is an obvious bijection $B'\cong \{1,2\}\times B$.

Ahora, si $X$ es un conjunto infinito, a continuación, $X$ $\{1,2\}\times X$ están en bijection. De esto se desprende que hay un bijection entre la base $B$ $V$ y la base de la $B'$$V\oplus V$. Como ustedes saben, esto implica que hay un isomorfismo lineal entre el$V$$V\oplus V$. Esto demuestra mi primera afirmación anterior.

(2) Considerar el mapa $$\phi:a+bi\in\mathbb C\mapsto (a,b)\in\mathbb R\oplus\mathbb R.$$ It is very easy to show that it is an isomorphism of $\mathbb P$-vector spaces, so that $\mathbb C\cong\mathbb R\oplus\mathbb R$, como mi segunda afirmación de los estados.

(3) por último, vamos a probar su afirmación de que si $\mathbb R$ $\mathbb C$ son isomorfos $\mathbb Q$-espacios vectoriales: desde $\mathbb R$ $\mathbb Q$- espacio vectorial de dimensiones infinitas, mi primera afirmación nos dice que $\mathbb R\cong\mathbb R\oplus\mathbb R$ $\mathbb Q$- espacios vectoriales. Por otro lado, mi segunda afirmación nos dice que $\mathbb R\oplus\mathbb R\cong\mathbb C$ $\mathbb Q$- espacios vectoriales. Transitividad, entonces, nos permite concluir que $\mathbb R\cong\mathbb C$ $\mathbb Q$- espacios vectoriales.

Answer 2

De dos maneras: una, utilizando sólo el hecho de que $|\mathbb{R}|=|\mathbb{C}|=\mathfrak{c}$; el otro, con el hecho de que podemos identificar la estructura aditiva de $\mathbb{C}$ con el avión.

1. Si $\mathbf{F}$ es un campo y $\mathbf{V}$ es un espacio vectorial sobre$\mathbf{V}$, ¿cuál es la cardinalidad de a $\mathbf{V}$? Si $\beta$ es una base para $\mathbf{V}$, entonces cada vector de $\mathbf{V}$ puede escribirse de forma única como una $\mathbf{F}$-combinación lineal de los vectores en $\beta$. Por lo tanto, no es un bijection entre los elementos de $\mathbf{V}$ y el conjunto de $$\bigl\{ f\colon\beta\to \mathbf{F}\bigm| f(\mathbf{b})=\mathbf{0}\text{ for almost all }\mathbf{b}\in\beta\bigr\}.$$ Es decir, el conjunto de funciones de finito apoyo de $\beta$ a $\mathbf{F}$, $\mathbf{F}^{(\beta)}$. Si $\mathbf{F}$ es infinito, entonces este cardinalidad es igual a $|\mathbf{F}||\beta|=\max\{|\mathbf{F}|,|\beta|\}$. Aquí, $\mathbf{F}=\mathbb{Q}$. Así que si $\beta$ es una base para$\mathbb{R}$$\mathbb{Q}$, tenemos $|\mathbb{R}| = \aleph_0|\beta|$. ¿Qué es $|\beta|$? Para $\mathbb{C}$, tenemos $|\mathbb{C}| = \aleph_0|\gamma|$ donde $\gamma$ es una base para$\mathbb{C}$$\mathbb{Q}$. ¿Qué es $|\gamma|$?

2. Desde la estructura aditiva de $\mathbb{C}$ es el mismo de la estructura aditiva de $\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}$, son isomorfos como $\mathbb{Q}$-espacios vectoriales. Así que si $\{\mathbf{v}_{b}\}_{b\in\beta}$ es una base para$\mathbb{R}$$\mathbb{Q}$, luego $$\bigl\{\mathbf{v}_{b}\bigr\}_{b\in\beta}\cup \bigl\{i\mathbf{v}_{b}\bigr\}_{b\in\beta}$$ es una base para $\mathbb{C}$ $\mathbb{Q}$ (demostrarlo). Por lo $\dim_{\mathbb{Q}}(\mathbb{C}) = 2\dim_{\mathbb{Q}}(\mathbb{R})$. Si la dimensión de $\mathbb{R}$ $\mathbb{Q}$ eran finitos, esto demostraría que son no isomorfos. Pero es el de dimensión finita o infinita? Y ¿qué dice usted acerca de las dimensiones?