Cómo mostrar que $1-\zeta$ es primera en el orden de $\{ 1, \zeta, \ldots, \zeta^{l-2} \}$?

Question

Estoy tratando de probar lo siguiente:

Deje $l$ ser una de las primeras y deje $\zeta$ $l$th raíz de la unidad. Muestran que, en el orden en el $\{ 1, \zeta, \ldots, \zeta^{l-2} \}$ de materia $\mathbb{Q}(\zeta)$, si un producto $\alpha \beta$ es divisible por $1-\zeta$, $\alpha$ o $\beta$ debe ser divisible por $1-\zeta$.

Sé que $1-\zeta$ es irreductible en la máxima orden de $\mathbb{Z}[ \zeta ]$, y estoy tratando de imitar la prueba de esa declaración, pero estoy atascado.

Por favor alguien puede ayudar?

Veo que todos los productos que estoy viendo son de la forma $\zeta^k$.

También el fin de contener $\zeta^{l-1}$?

Tengo la sensación de que "el fin de ${ 1, \zeta, \ldots, \zeta^{l-2} }$" es en realidad la $\mathbb{Z}[ \zeta ]$. ¿Es esto cierto?

Answer 1

En primer lugar, el anillo que está hablando es sólo el anillo de enteros $\mathbb{Z}[\zeta]$, como Arturo ha comentado en el apartado de comentarios. En realidad, a ver que $\mathbb{Z}[\zeta]$ es, precisamente, el anillo de los enteros no es del todo trivial, pero voy a suponer esto. Una referencia que espontáneamente viene a mi mente es la de Washington, el libro de Cyclotomic Campos, pero estoy seguro de que hay más elementales.

Aquí está una manera fácil de ver que $1-\zeta$ es primo, evitando preguntas como "si las normas de los elementos divide cada uno de los otros, hacer que los elementos se dividen cada uno de los otros?" :

Paso 1. Mostrar que un elemento $x$ de un integrante del dominio es primo si y sólo si el ideal $(x)$ es primo.

Paso 2. Demostrar que si un ideal tiene la primera norma, entonces es primo. Recordemos que la norma de un ideal es su índice en el ring. (Sugerencia: todo ideal maximal es primo. La prueba!)

Paso 3. Muestran que en el caso de los anillos de enteros de los campos de número, la norma del ideal de la $(x)$ es igual a la norma absoluta de $x$. Ahora, ¿qué es $\text{Norm}_{\mathbb{Q}(\zeta)/\mathbb{Q}}(1-\zeta)$? (Sugerencia: la norma de un elemento de un campo de número es el coeficiente constante de su polinomio mínimo. ¿Por qué?)

Answer 2

Deje $\alpha$ ser un elemento de $\mathbb{Q}(\zeta)$. Denotamos por a $N(\alpha)$ la norma de $\alpha$ con respecto al $\mathbb{Q}(\zeta)/\mathbb{Q}$.

Deje $\alpha$ $\beta$ ser elementos de $\mathbb{Z}(\zeta)$. Denotamos $\alpha \equiv \beta$ (mod $(1 - \zeta)$) si $\alpha - \beta$ pertenece a $(1 - \zeta)\mathbb{Z}(\zeta)$.

Lema 1 $N(1 - \zeta) = l$

Prueba: Este es inmediata por la siguiente fórmula(en sustitución de $X$$1$). $1 + X + \cdots + X^{l-1} = (X - \zeta)(X - \zeta^2)\cdots (X - \zeta^{l-1})$.

Lema 2 Deje $\alpha = f(\zeta)$ ser un elemento de $\mathbb{Z}(\zeta)$ donde $f(X)$ es un polinomio en a $\mathbb{Z}[X]$. A continuación, $\alpha \equiv 0$ (mod $(1 - \zeta)$) si y sólo si $f(1) \equiv 0$ (mod $l$).

Prueba: Desde $\zeta \equiv 1$ (mod $(1 - \zeta))$, $f(\zeta) \equiv f(1)$ (mod $(1 - \zeta))$.

Supongamos $\alpha \equiv 0$ (mod $(1 - \zeta)$). A continuación, $f(1) \equiv 0$ (mod $(1 - \zeta)$) por encima de la congruencia. Tomando normas de $f(1)$$1 - \zeta$, obtenemos $f(1)^{l-1} \equiv 0$ (mod $l$) por el Lema 1. Por lo tanto $f(1) \equiv 0$ (mod $l$)

Por el contrario supongamos $f(1) \equiv 0$ (mod $l$). Por el Lema 1, $f(1) \equiv 0$ (mod $(1 - \zeta)$). Por lo tanto $\alpha \equiv 0$ (mod $(1 - \zeta)$) por encima de la congruencia. Esto completa la prueba.

La proposición Deje $\alpha$ $\beta$ ser elementos de $\mathbb{Z}(\zeta)$. Supongamos $\alpha\beta \equiv 0$ (mod $(1 - \zeta)$). A continuación, $\alpha \equiv 0$ (mod $(1 - \zeta)$) o $\beta \equiv 0$ (mod $(1 - \zeta)$).

Prueba: De esta manera se sigue inmediatamente del Lema 2

Answer 3

Aquí está una manera más directa que no se basan en las normas, pero se conoce poco diferente que Makoto la respuesta.

Tenga en cuenta que $\ell\in (\zeta-1)$ desde el si $f(T)=1+\cdots+T^{\ell-1}$ $f(T+1)$ aniquila $\zeta-1$, pero

$$\displaystyle f(T+1)=\ell +\sum_{j=1}^{\ell-1}a_j T^j\qquad(\ast)$$

para algunos $a_j$$\ell\mid a_j$$j\leqslant 1<\ell-1$. Así,

$$\displaystyle 0=f((\zeta-1)+1)=\ell+\sum_{j=1}^{\ell-1}a_j T$$

por lo $\ell\in (\zeta-\ell)$ como se desee.

Nota a continuación, tenga en cuenta que

$$\begin{aligned}\mathbb{Z}[\zeta]/(\zeta-1) &=\mathbb{Z}[\zeta]/(\ell,\zeta-1)\\ &=\mathbb{Z}[T]/(f(T),\ell,T-1)\\ &= (\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})[T]/(\overline{f(T)},\overline{T-1})\\ &= (\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})[T]/(\overline{T-1})\\ &\cong \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}\end{aligned}$$

Donde la barra indica tomando los coeficientes modulo $\ell$ y el hecho de que $(\overline{f(T)},\overline{T-1})=(\overline{T-1})$ sigue de $(\ast)$.

EDIT: me acabo de dar cuenta que esto es como un niño de dos años pregunta..