Morita equivalencia y módulos de problemas

Question

Dos anillos de $A$ $B$ son Morita equivalente si la categoría de los módulos a través de $A$ $B$ son equivalentes como categorías de aditivos. (Aquí me estoy planteando la izquierda módulos). Ex: $M_n(R)$ (el álgebra de matrices sobre un anillo de $R$) es morita equivalente a $R$. De hecho, más en general, siempre que $A$ es un anillo y $e$ es un idempotente en $A$$AeA = A$, a continuación, las siguientes functor es una morita equivalencia:

$A$ módulos $\rightarrow$ $eAe$ módulos

$M$ $\mapsto$ $eM$

Ahora bajo condiciones agradables las categorías de $A$ módulos (resp $B$ módulos) puede tener una descripción de los módulos. Entonces se puede decir nada acerca de la inducida por el mapa de los espacios de moduli? Yo estoy pidiendo para situaciones en las que es conocido.

También hay un buen libro o documento que habla acerca de equivalencia de Morita y tiene un montón de ejemplos?

Answer 1

En la configuración que le interesa, que es, finitely generado k-álgebras y GIT-cocientes de cerrado o semistable órbitas, Morita equivalencia induce isomorfismo en los módulos de espacios provistos uno escalas dimensión(vectores) y la estabilidad de las estructuras en consecuencia. Es decir, si B=M_n(A) uno debe comparar Mod(A,k) Mod(B,nk) de los módulos. Si a y B tienen un conjunto completo de ortogonal idempotents e_i resp. f_i(que es, un carcaj situación similar) y si la Morita equivalencia induce rango(f_i) = n_i rango(e_i), entonces uno debe comparar A-representantes de vector de dimensión alfa=(alpha_i) a B-reps con vector de dimensión beta=(n_i alpha_i).

Geométricamente, el módulo de variedades de Morita-equivalente álgebras están relacionados a través de asociados de fibra paquete de construcciones. En el ejemplo anterior, Mod(B,kn) = GL(nk) x^GL(k) Mod(a,k). En general,uno tenía una descripción a nivel local en la topología de Zariski (llegando aproximadamente a partir del hecho de que un vectorbundle (o proyectiva) es localmente libre). De todos modos, esto le da un aspecto natural y geométricas de una correspondencia uno a uno entre GL(nk) de las órbitas (isoclasses) de B-reps y GL(k) de las órbitas de los representantes de la inducción de la deseada isos en el cociente variedad de nivel (isos de semi-simple). En la aljaba de situaciones similares a la que uno debe ajustar la tenue luz de los vectores anteriores.

Ahora, en cuanto a semi-estabilidad. Observar que el semi-estable repeticiones son ordinarios, representantes de un universal de la localización de su álgebra(s), por lo que se puede reducir al caso cerrado cubriendo la variedad de productos semi-establos por Zariski abierto (afín) piezas. En la aljaba de situaciones similares cuando la Morita de datos es como el anterior y su estabilidad de la estructura de mu para Una está dada por el vector (mu_i), entonces el correspondiente de la estabilidad de la estructura de B es mu'=(1/n_i x mu_i) (o multiplicar un factor común si usted quiere que tengan componentes integrales.

Answer 2

Hay algunas buenas Morita equivalencias derivadas de Hecke álgebras en teoría de la representación - que surgen como álgebras de bi-invariante funciones en un localmente compacto grupo de menores de la convolución. Bueno, viable ejemplos surgen de los subgrupos de los grupos finitos.

Si te gusta las categorías, hay un alto nivel de tratamiento en este documento (Ben-Zvi, Francisco, Nadler). Probablemente no sea el mejor lugar para empezar.

Answer 3

Este no es un ejemplo de la clase que usted pidió, pero puede resultar muy interesante, de todos modos - que involucra a ambos módulos y equivalencias. En Bridgeland del papel Flops y Categorías Derivadas construye ciertos derivados de equivalencias (que son transformadas de Fourier-Mukai, así, tener una Morita tipo de sabor) por la construcción de un espacio de moduli de ciertos objetos en un derivado de la categoría que provienen de un t-estructura.

Ha sido un tiempo desde que he mirado, pero de la memoria "Morita Equivalencia y la Dualidad" por Cohn es un muy buen libro y creo que contiene varios ejemplos (espero que recuerdo correctamente).

Answer 4

Esto puede ser muy elemental, pero Anderson y Fuller _Rings_and_Cagegories_of_Modules_ tiene una sección que da propiedades básicas de Morita equivalencia. La Morita equivalencia sección de McConnell y Robson del _Noncommutative_Noetherian_Rings_ entra en más profundidad; por ejemplo, muestran que Morita equivalente anillos isomorfos celosías de (2-sided) ideales, que no creo que sea cubierto en Anderson-Fuller.

Me doy cuenta de que este no es tu pregunta original, pero se puede ayudar con la pregunta #2.