Necesita un toque para evaluar la integral indefinida $\int\frac{e^x(2-x^2)}{(1-x)\sqrt{1-x^2}}dx$?

Question

Así, la pregunta que dice que tengo que realizar la integración indefinida
$$\int\frac{e^x(2-x^2)}{(1-x)\sqrt{1-x^2}}dx$$ Sé que
$$\int e^x(f(x)+f'(x))dx=e^xf(x)+C$$ Ya que cualquier otro de sustitución (el uso de $x=ln(t)$ etc.) no funciona, espero que me tengo que romper la fracción con $e^x$ en la integral anterior para separar las fracciones de $f(x)$ $f'(x)$ de alguna manera. Me separe $2-x^2=1+(1-x^2)$, pero que no funciona (hojas de $x$ en el numerador de derivados que no veo en la pregunta). Cualquier otros trucos?

Answer 1

Su truco no funciona.

$$e^x\frac{2-x^2}{(1-x)\sqrt{1-x^2}}=e^x\frac1{(1-x)\sqrt{1-x^2}}+e^x\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$$

Y, $$\frac{d\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}}{dx}=\frac{\sqrt{1-x}}{2\sqrt{1+x}}\frac{2}{(1-x)^2}=\frac1{(1-x)\sqrt{1-x^2}}$$

Así que la antiderivada es, $$e^x\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}+C$$