¿Cómo explicar a un estudiante de la escuela secundaria ¿por qué una ecuación diferencial lineal es lineal?

Question

Mi madre es la enseñanza de un curso de la escuela preparatoria de cálculo multivariable, y que fueron el estudio de ecuaciones diferenciales lineales de la forma $$y' + P(x) y = Q(x),$$ y la pregunta de por qué esta ecuación se llama "lineal" se acercó.

En cuanto a que estos estudiantes están familiarizados, ya que no ha sido expuesto al álgebra lineal sin embargo, mi pensamiento fue para decir que la ecuación de una línea, $y = mx+b$, es "lineal" en $x$ (ignorando el tecnicismo de que se trata realmente de un afín ecuación no lineal), porque es en la forma de "coeficiente de veces $x$" y, a continuación, nos permiten otro término que es sólo un solitario coeficiente. Y, a continuación, extendemos esta idea diciendo que la ecuación diferencial es "lineal" en $y$$y'$, pero esta vez los coeficientes, se permitió que las funciones de $x$.

Eso es probablemente una buena mano ondulado explicación para ayudar a los estudiantes a recordar la definición, al menos. Yo realmente no podía pensar en una buena razón por la que "debería" ser, a priori, ser kosher para permitir que los coeficientes a ser las funciones de $x$ aquí. En ese punto me parece que usted sólo tiene que entrar en el algebraicas lineales definición de linealidad, que, siendo completamente ajeno a los alumnos... sólo parece ser un poco demasiado profundo de un agujero de conejo para este propósito.

Así que mi pregunta es: ¿alguien tiene una mejor forma de acercarse a este? Y si crees que mi mano-ondulado explicación anterior es en gran medida aceptable, hay una manera que usted puede explicar por qué la multiplicación por no constantes de las funciones de $x$ "debe" considerarse lineal en $y$?

Answer 1

La ecuación diferencial $y'+Py=Q$ es lineal porque el subyacente homogénea problema $y'+Py=0$ satisface la propiedad de linealidad que al $y_1, y_2$ son soluciones de la arbitrariedad de la combinación lineal $c_1y_1+c_2y_2$ es una vez más una solución. Es la linealidad de la solución en lugar de la forma explícita de la ecuación diferencial en sí, que es de interés. Por supuesto, también existe la superposición principio, si reemplazamos $Q$$c_1Q_1+c_2Q_2$, entonces las soluciones de $y'+Py=Q_1$ $y'+Py=Q_2$ superponer a dar soluciones de $y'+Py=c_1Q_1+c_2Q_2$ por lo tanto la red-la causa es una suma de los efectos individuales. Todos estos rasgos son característicos de sistemas lineales.

Answer 2

Como el Nombre lo señala en su comentario, hablando de lo que hace el Bruto' "$L$-máquina de" hacer que las combinaciones lineales de las funciones puede ser útil y fácil de entender, puesto que los estudiantes ya saben derivados propiedades:

$$ L(y) = y'+P(x)y,$$

$$ L(ay_1+by_2) = aL(y_1)+bL(y_2).$$

La derivada de la máquina ($y'$) ya es conocido por ser "lineal". Estamos ampliando esta máquina con cuidado (+$P(x)y$) en una forma en que no podemos perder ese "linealidad".

Answer 3

Creo que la mejor forma podría ser la de pensar en qué pasaría si tuviéramos dos soluciones a este $y_1$$y_2$. Entonces, podríamos considerar que, para $a+b=1$, la función de $ay_1+by_2$ es también una solución. Es bastante obvio que esta es una línea si llegan a saber de álgebra lineal, pero por lo demás, he aquí cómo me gustaría explicarlo:

Dibuja el plano con los ejes $a$ $b$ y la línea de $a+b=1$ - que los estudiantes deben ser capaces de reconocer como una línea dado que lo que se enseña en la escuela secundaria. Aviso que este pasa a través de los puntos de $(1,0)$$(0,1$). Considere la posibilidad de que, si $(a,b)=(1,0)$, $ay_1+by_2=y_1$ - por lo que el punto de $(1,0)$ sobre el plano de coordenadas representa la función $y_1$. Del mismo modo, el punto de $(0,1)$ representa la función de $y_2$. A continuación, como ejemplo, el punto medio $\left(\frac{1}2,\frac{1}2\right)$ puede ser visto como el promedio de $\frac{y_1+y_2}2$, que debe ser de otra forma familiar. También se puede ver en otros puntos como promedios ponderados. Esto debe dar la sensación de que esta línea en el $ab$ plano de coordenadas representa que cualquier función, en cierto sentido, "entre" o derivadas de un promedio de los otros dos también debe ser una solución - y los estudiantes, como un bono, tener el visual de una recta en un plano, que, al menos, actúa como una tecla de acceso si no dan información.

Answer 4

Solo les digo que la palabra "lineal" (cuando se utiliza fuera de álgebra elemental) se define como "homogénea de grado 1" y "aditivo". Dar un ejemplo de cada uno de los 2 propiedades, explicar que es realmente la ecuación homogénea que es lineal, y seguir adelante. Es sólo una definición, y que van a tener una mejor idea de que cuando llegan al álgebra lineal así que no hay razón para perder el tiempo en ello.

/rant Aunque, debo decir, que tomando multivariable o Odas sin antes haber tenido álgebra lineal, no es una gran idea. Deseo escuelas secundarias iba a dejar de hacerlo. Las ideas de cálculo multivariable y Odas puede hundirse en una MUCHO más profunda, si uno no está partiendo de cero. Y debido a la forma de la AP de crédito funciona, los estudiantes pueden estar en movimiento incluso más alto nivel de los cursos de matemáticas (ecuaciones en derivadas parciales, etc) inmediatamente después de llegar a la universidad sin entender realmente lo que estaban haciendo con todos los Jacobians, tangente espacios, y Wronskians. /endrant