$\pi$, Dedekind cortes, funciones trigonométricas, el área de un círculo

Question

(Debo decir desde el principio que esta pregunta es muy amplia, y puede necesitar división. Aunque tengo varias preguntas, les presento como uno porque no son independientes el uno del otro, y estoy en busca de una respuesta unificada.)

Mis preguntas son:

• ¿Cómo podemos establecer que la circunferencia de la $C$ y el área de $A$ de un círculo de radio $r$ satisfacer $C = 2\pi r$ $A = \pi r^2$ para algunas constantes, $\pi$?

• ¿Cómo podemos demostrar que $\pi$ es un elemento de la real campo (por ejemplo, un Dedekind corte)?

• ¿Cómo podemos demostrar que (tal vez trivial, si los de arriba son satisfechos) que no son funciones reales,$\sin(x)$$\cos(x)$, que tiene la costumbre de la analítica de las propiedades, y también la satisfacción de la habitual intuición geométrica?

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Parece que la mayoría de los libros de texto de cálculo especie de comadreja sobre estas cuestiones. Generalmente, ignoran las primeras dos preguntas bastante completo, y su derivación en el tercer punto, que es un relleno de el siguiente esquema:

• (1) Definir el $\sin(x)$ como la altura de un triángulo de ángulo central $x$ inscrito en el círculo unidad, donde $x$ está en radianes, y $\cos(x)$ como la longitud de su base. Asumir los valores usuales para estas funciones en $k(\frac{\pi}{2}), k \in \mathbb{N}$.
• (2) la Notificación, por el supuesto de que (a)$A = \pi r^2$$C = 2\pi r$, y (b) que el área de un sector es proporcional a la longitud de arco subtendido por el ángulo en la circunferencia, que el área de $S$ de un sector de ángulo de $x$ en un círculo unitario es $\frac{x}{2}$, ya que el $$\frac{S}{\pi r^2} = \frac{x}{2 \pi r}, r = 1 \implies S = \frac{x}{2}$$ (Al parecer, la asunción (b) es de Euclides VI 33. No he estudiado la prueba, sin embargo.)
• (3) Demostrar, utilizando un argumento geométrico, que $\frac{\sin(x)}{2} < \frac{x}{2} < \frac{\tan(x)}{2}$$x \in [0,\frac{\pi}{2})$. Tratar de manera similar (no idéntica) a $(\frac{-\pi}{2}, 0]$. Demostrar que siempre tenemos $1 > \frac{\sin(x)}{x} > \cos(x)$$(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
• (4) se Derivan (por un argumento geométrico, como se ha hecho aquí) la costumbre de la suma de ángulos fórmulas.
• (5) tomando nota de que $|\sin(x)| < |x|$ (geométricamente), a la conclusión de que $\lim_{x \to 0} \sin(x) = 0$. Uso de la identidad derivada de (4) - que $$\cos(x) = 1 - 2\sin^2(\frac{x}{2}) = (1 - \sqrt{2}\sin(\frac{x}{2}))(1 + \sqrt{2}\sin(\frac{x}{2}))$$ and the product theorem for limits to conclude that $\lim_{x \to 0} \cos(x) = 1$.
• (6) Utilizar el "Teorema del sándwich", y (3) demostrar que $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$, $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x} = 0$. El uso de (4) y (5) para establecer la continuidad en todos los demás valores - por ejemplo, $$\lim_{h \to 0} \sin(x_0 + h) = \lim_{h \to 0}\sin(x_0)\cos(h) + \sin(h)\cos(x_0) = \sin(x_0)$$
• (7) probar Ahora que $\sin(x), \cos(x)$ son diferenciables.

Una en particular enfoque diferente es el de Spivak del Cálculo. Spivak tácitamente se asume que la primera pregunta ha sido contestada, y se percata de que en ese caso,

$$ \pi = 2\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2} dx $$

la que se resuelve la segunda pregunta, aunque no de manera demasiado directa. También suponiendo que el área de un sector de un ángulo de $x$ radianes es $\frac{x}{2}$, que él define

$$ A(x) = \frac{x \sqrt{1- x^2}}{2} + \int_{x}^{1} \sqrt{1-t^2} dt$$

La función del área es una función de la $x$-coordinar, no un ángulo de $x$; tiende de$\frac{\pi}{2}$$0$$x$$-1$%#%. Sin embargo, $1$,$\forall x \in [0, \pi]$; $\exists !y \in [-1, 1]: A(y) = \frac{x}{2}$ establecemos como $y$, y definimos $\cos(x)$. (La singularidad de que el valor de $\sin(x) = \sqrt{1 - \cos^2(x)}$ está garantizada por el hecho de que $\cos(x)$ es decreciente y continua.) El resto de Spivak de la derivación es acerca de la extensión de estas funciones (por simetría) para el resto de $A(x)$.

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Aunque estoy familiarizado con estas derivaciones, que son las más prominente en silencio acerca de la primera pregunta, nunca he visto ninguna respuesta a esa pregunta que me impresionó como rigurosa. No estoy del todo seguro de que hay un verdadero corte que uno puede escribir (es decir, en la configuración del generador de notación, como una explícita subconjunto de $\mathbb{R}$ en la forma habitual) por $\mathbb{Q}$.

Answer 1

Las respuestas siguientes a su primera pregunta. No mencionamos seno o coseno. Vamos a utilizar básicos de las técnicas de integración, pero por supuesto no vamos a utilizar trigonométricas sustitución!

Definir la circunferencia de radio $r$ con centro en el origen, la ecuación de $x^2+y^2=r^2$, y el disco por $x^2+y^2\le r^2$.

En primer lugar, muestran que el área de un disco de radio $r$ es un número constante de veces $r^2$. Por simetría, el área es $$4\int_0^r\sqrt{r^2-x^2}\,dx.$$ Hacer el cambio de variable $x=rt$. Nuestra zona es $$r^2\left(4\int_0^1 \sqrt{1-t^2}\,dt\right).$$ Por lo tanto $4\int_0^1 \sqrt{1-t^2}\,dt$ deseada es la constante. Podríamos llamarlo $\pi$. Pero vamos a llamarlo $4k$.

Para la circunferencia, la costumbre arclength fórmula, después de la simplificación, que da la medida de la circunferencia es $$4\int_0^r \frac{r\,dx}{\sqrt{r^2-x^2}}.$$ El cambio de variable $x=rt$ transforma esta a $$r\left(4\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}\right).$$ Así que tenemos $r$ multiplicado por una constante. Que constante?

Vamos a evaluar $\int_0^1\sqrt{1-t^2}\,dt$ (¡sí!) de una manera divertida, por partes. Deje $u=\sqrt{1-t^2}$$dv=dt$. A continuación,$du=-\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}\,dt$$v=t$. Después de un rato nos encontramos con que $$\int_0^1\sqrt{1-t^2}\,dt=\int_0^1 \frac{t^2\,dt}{\sqrt{1-t^2}}.$$ Pero el numerador de la derecha es $1-(1-t^2)$. Y $\dfrac{1-t^2}{\sqrt{1-t^2}}=\sqrt{1-t^2}$. Así $$\int_0^1\sqrt{1-t^2}\,dt=\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}-\int_0^1\sqrt{1-t^2}\,dt.$$ Llegamos a la conclusión de que $$\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=2\int_0^1\sqrt{1-t^2}\,dt=2k.$$ De ello se desprende que la circunferencia de un círculo de radio $r$$8kr$.

Nota: se pueden introducir las funciones trigonométricas a través de las integrales, como se mencionó en el OP. A continuación, sus propiedades básicas, tales como la adición de las leyes, no son difíciles de obtener. Es, sin embargo, ligeramente tedioso.

Answer 2

Espero que no te importe si me contesta en un esquema. Como André Nicolás dice, todos los detalles de la tomaría mucho tiempo para escribir. Mi estrategia preferida es comenzar por el final, que es, para la construcción de las funciones trigonométricas en primer lugar.

1. Demostrar que existe una única función derivable $\text{cis}(t)$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$que satisface la ecuación diferencial $\frac{d}{dt} \text{cis}(t) = i \text{cis}(t)$ con condición inicial $\text{cis}(0) = 1$. (Existencia puede ser probada mediante la matriz exponencial. La unicidad es sencillo.)
2. Calcular que $\frac{d}{dt} |\text{cis}(t)|^2 = 0$, por lo tanto, por el valor medio teorema, $|\text{cis}(t)| = 1$ de forma idéntica.
3. Mostrar que $\text{cis}(s + t) = \text{cis}(s) \text{cis}(t)$. (Sugerencia: ambos lados, como una función de la $t$, satisfacen la misma ecuación diferencial con las mismas condiciones iniciales.)
4. Mostrar que $\text{cis}(t)$ es periódica, y definir $2 \pi$ a de su período. (Creo que me sirve para saber de una escuela primaria prueba de esto, pero la actual prueba que tengo en mente requiere de un poco de topología.)
5. Por viñeta 2, $\text{cis}(t)$ trazas fuera del círculo unidad exactamente una vez en un período y tiene velocidad constante $1$, lo $2 \pi$ es la circunferencia del círculo unitario.
6. A la conclusión de que el área del círculo unitario es $\pi$. (Hay varias formas de hacerlo, la más sencilla sería escribir el área como una integral sobre circunferencias. Una mancha de la forma es usar el Verde del teorema.)
7. A la conclusión de que $\pi = 2 \int_{-1}^1 \sqrt{1 - x^2} \, dx$. La aproximación de esta integral por las sumas de Riemann da un Dedekind corte describiendo $\pi$.

Si usted cree que las integrales que le enseñaron en el cálculo para calcular áreas y arco-longitudes realmente calcular áreas y arco de longitud, entonces el resultado general de los círculos de la siguiente manera por el escalado. Si no, ¿cómo está la definición de áreas y arco de longitud?

Answer 3

Si usted cree en los límites, Arquímedes enfoque para el cálculo de $\pi$ satisface la primera viñeta. Esta es una definición de $\pi$.

Para la segunda viñeta, sólo se necesita la capacidad de comparar dos racionales. A continuación, siga a través de Arquímedes de cálculo y, finalmente, cualquier racional será uno de los laterales de $\pi$ o el otro. Integridad dice que $\pi$ existe.