Cómo calcular $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac1n\left\{(2n+1)(2n+2)\cdots(2n+n)\right\}^{1/n}$

Question

Si $\displaystyle f(n)=\frac1n\Big\{(2n+1)(2n+2)\cdots(2n+n)\Big\}^{1/n}$ , $\lim\limits_{n\to\infty}f(n)$ es igual a: $$ \begin{array}{} (\mathrm{A})\ \frac4e\qquad&(\mathrm{B})\ \frac{27}{4e}\qquad&(\mathrm{C})\ \frac{27e}{4}\qquad&(\mathrm{D})\ 4e \end{array} $$ Yo no podía conseguir la forma correcta de empezar con este problema. Pero, como las opciones incluyen la constante $e$ creo que voy a tener que trabajar con logaritmos.

Así que, esto es lo que hice. $$ \lim_{n \to \infty} f(n)\\ =\mathrm{exp}\left(\ln\left(\lim_{n \to \infty} f(n)\right)\right)\\ =\mathrm{exp}\left(\lim_{n \to \infty}\left[\ln\left(f(b)\right)\right]\right)\\ =\mathrm{exp}\left(\lim_{n \to \infty}\left[\frac{1}{n^2}\left(\ln(2n+1)+\ln(2n+2)+\ldots+\ln(2n+n)\right)\right]\right) $$ Yo no soy capaz de seguir adelante. En caso de que mi método es correcto, por favor, darme consejos sobre procedimiento de más y en caso de que esté equivocado me dan el mismo en otro método.

Answer 1

Como hay $n$ términos como los multiplicadores,

$$\displaystyle f(n)=\frac1n\Big\{(2n+1)(2n+2)\cdots(2n+n)\Big\}^{1/n}=\left(\prod_{1\le r\le n}\frac{2n+r}n\right)^{\frac1n}$$

por lo tanto $$\ln f(n)=\frac1n\sum_{1\le r\le n}\ln\left(2+\frac rn\right)$$ El uso de $$\lim_{n \to \infty} \frac1n\sum_{r=1}^n g\left(\frac rn\right)=\int_0^1g(x)dx,$$

$$\lim_{n\to\infty}\ln f(n)=\int_0^1\ln(x+2)dx$$

Tenga en cuenta que \begin{eqnarray} \int\ln(x+2)dx&=&x\ln(x+2)-\int\frac x{x+2}dx\\ &=& x\ln(x+2)-\int\frac{x+2-2}{x+2}dx\\ &=& x\ln(x+2)-\int\ dx+2\int\frac1{x+2}dx\\ &=& x\ln(x+2)-x+2\ln(x+2)\\ &=&(x+2)\ln(x+2)-x \end{eqnarray} por lo tanto $$\int_0^1\ln(x+2)dx=3\ln3-1-\{2\ln2-0\}=\ln (3^3)-\ln e-\ln(2^2)=\ln \frac{27}{4e}$$

Answer 2

$$\frac{1}{n}\left[\frac{(3n)!}{(2n)!}\right]^{\frac{1}{n}}\sim\frac{1}{n}\left[\frac{\left(\frac{3n}{e}\right)^{3n}\sqrt{6\pi n}}{\left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}\sqrt{4\pi n}}\right]^{\frac{1}{n}}=\frac{1}{n}\left[\left(\frac{n}{e}\right)^n\frac{27^n}{4^n}\sqrt{\frac{3}{2}}\right]^{\frac{1}{n}}\to \frac{27}{4e}$$

Answer 3

Sugerencia (para esta pregunta de opción múltiple): $2 \le f(n) \le 3$.