Una función matemática que dibuja la forma de una gota de agua?

Question

Solo necesito una referencia rápida. ¿Cuál es la función de este tipo de forma?

Gracias.

Answer 1

Afortunadamente para ti, aunque la advertencia de que "no hay una razón real para esperar que una forma arbitraria admita una descripción agradable" es cierta en general, existe una curva que podría satisfacer tus necesidades: la piriforme de Longchamps (piriforme - "formada como una pera"), con la ecuación paramétrica (modificada un poco de las ecuaciones en los enlaces; dejaré la prueba de equivalencia para ti):

$$\begin{align*}x&=a(1-\sin\,t)\cos\,t\\y&=b(\sin\,t-1)\end{align*}$$

Aquí, por ejemplo, es el caso $a=1,\quad b=\frac52$:

Por otro lado, recuerda que en una gota física genuina, la tensión superficial obliga a que la parte inferior bulbosa de la gota sea (más o menos) esférica; esto, por supuesto, no es el caso de la piriforme.

Answer 2

O quizás te guste este, que es un perfil aerodinámico de Joukowski.

$$\eqalign{x &= q\sin \left( t \right) -{\frac {q\sin \left( t \right) }{ \left( 1-q+q\cos \left( t \right) \right) ^{2}+{q}^{2} \left( \sin \left( t \right) \right) ^{2}}}\cr y &= q\cos \left( t \right) +{\frac {1-q+q\cos \left( t \right) }{ \left( 1-q+q\cos \left( t \right) \right) ^{2}+{ q}^{2} \left( \sin \left( t \right) \right) ^{2}}}\cr}$$

donde $1/2 < q < 1$. Aquí está el caso $q = 2/3$:

Answer 3

También puedes intentar con Maple para encontrar un tipo de gota de agua de la siguiente manera:

  [> with(plots):
  [> implicitplot3d(x^2+y^2+z^4 = z^2, x = -1 .. 1, y = -1 .. 1, z = -1 .. 0, numpoints = 50000, lightmodel = light2, color = blue, axes = boxed);

Answer 4

En general, no hay una razón real para esperar que una forma arbitraria admita una descripción agradable. Ciertamente es verdad que muchas formas son el lugar geométrico de alguna expresión agradable, pero al recibir una forma "en la naturaleza", lo único que una persona puede hacer es aproximarla. Con ese fin, aquí hay algunas sugerencias que pueden ayudarte a elaborar una expresión que se ajuste a tus necesidades.

Estoy asumiendo que tu figura tiene simetría rotacional sobre el eje que pasa por la punta y la parte inferior de la gota de lluvia. Esto significa que basta con poder describir la sección transversal (el contorno de una gota de lluvia, por así decirlo); puedes recuperar el resto trabajando en coordenadas esféricas. También observa que la parte inferior de la gota de lluvia parece bastante esférica. Esto significa que tu sección transversal debería aproximarse a un círculo en la mitad inferior. A partir de este punto, simplemente podemos pensar en empezar con un círculo, y modificarlo un poco para que empiece a parecerse al contorno de una gota de lluvia. Podemos lograr esto en coordenadas polares, de modo que solo necesitamos describir el radio de nuestra figura para un ángulo dado; llamemos a esta función $f(\theta)$. Para simplificar, midamos el ángulo en sentido horario desde la vertical, de modo que estemos empezando cerca del punto de la gota de lluvia.

Describamos algunas de las propiedades que $f$ debería tener. Lo primero es que dado que el contorno de nuestra gota tiene una simetría adicional sobre el eje $y$, deberíamos tener que $f(\theta) = f(2\pi - \theta)$. Dado que la parte inferior de la gota es aproximadamente esférica, en el rango $[\pi/2, 3\pi/2]$, $f$ debería ser aproximadamente $1$. En el rango $[0, \pi/2]$, $f$ debería disminuir de aproximadamente $2$ a $1$.

¿Cómo obtenemos el "punto" en la gota de lluvia? Bueno, la "puntiagudez" no es más que una condición sobre la pendiente de $f$ cerca de $\theta = 0$; $\frac{dy}{dx}$ debería acercarse a $-\infty$. Y es un buen ejercicio de cálculo resolver cómo calcular $\frac{dy}{dx}$ en términos de $f$. A partir de este punto, es solo cuestión de elegir una función que cumpla con estas propiedades, y ajustar tal función para satisfacer tus necesidades.

Answer 5

Puedes ver más sobre esto en la parametrización Piriforme aquí.