Hacer singulares las matrices no singulares

Question

¿Cuál es el valor mínimo de $k$ tal que todo no-singular $n\times n$ las matrices reales pueden hacerse singulares cambiando EXACTAMENTE $k$ entradas con CERO ?

Answer 1

Siempre se puede hacer un $n \times n$ matriz singular haciendo $n$ entradas (todas en una fila o una columna) cero. Para una matriz $(a_{ij})$ cuyas entradas son algebraicamente independientes, es imposible hacerlo con menos de $n$ . Se puede demostrar (por ejemplo, utilizando el teorema del matrimonio de Hall) que si se hace menos de $n$ elementos cero seguirá habiendo una permutación $\pi$ de $[1,\ldots,n]$ de manera que todos los $a_{i,\pi(i)}$ no se ven afectados, por lo que el término correspondiente en el determinante seguirá estando ahí y no podrá ser anulado por los otros términos.

EDIT: Esto es, por supuesto, sobre un campo que tiene $n^2$ elementos algebraicamente independientes. Se puede hacer sobre cualquier campo infinito, con un poco más de trabajo, construyendo inductivamente una secuencia $c_j$ de elementos no nulos tal que para cada $n$ todos los términos de de la siguiente forma son distintos y no nulos: $\sum_{i=1}^k \prod_{j \in S_i} c_j$ donde $S_1, \ldots, S_k$ son subconjuntos distintos de $\{1, \ldots, n\}$ , $1 \le k \le 2^n$ . Por otro lado, no funciona sobre campos finitos. Así, sobre $GF(2)$ siempre puedes hacer singular una matriz no singular cambiando un elemento por $0$ .